TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 25

Man bestimme die lineare und quadratische Approximation der Funktion

f(x,y)=x^{2}(y-1)+xe^{y^{2}}

im Entwicklungspunkt $(-1,0)$ .

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die lineare und quadratische Approximation bilden wir glieder erster und zweiter Ordnung der Taylorreihe.

Erinnerung, Taylorentwicklung erster + zweiter Ordnung (lineare + quadratische) $f(x,y)=\underbrace {\underbrace {f(x_{0},y_{0})+f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})} _{lineare\,approximation}+{\frac {1}{2!}}{\Bigl (}f_{xx}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})^{2}+2f_{xy}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})(y-y_{0})+f_{yy}(x_{0},y_{0})(y-yo)^{2}{\Bigr )}} _{quadratische\,approximation}$ + Rest (Glieder höherer ordnung, interessieren uns hier nicht)

Dazu benötigen wir zuerst alle Ableitungen erster und zweiter Ordnung.

Ableitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

${\begin{aligned}f_{x}&=2x(y-1)+e^{y^{2}}\\f_{y}&=x^{2}+2xye^{y^{2}}\\f_{xx}&=2(y-1)\cdot 1+0\\&=2(y-1)\\f_{yy}&=0+2x(e^{y^{2}}+2y^{2}e^{y^{2}})\\&=4xy^{2}e^{y^{2}}+2xe^{y^{2}}\\f_{xy}&=2x\cdot 1+e^{y^{2}}\cdot 2y\\&=2(x+ye^{y^{2}})\end{aligned}}$