TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 25

Man bestimme die lineare und quadratische Approximation der Funktion

$f(x,y)=x^2(y-1)+x{e}^{y^2}$

im Entwicklungspunkt $(-1,0)$.

Lösungsvorschlag

Für die lineare und quadratische Approximation bilden wir glieder erster und zweiter Ordnung der Taylorreihe.

Erinnerung, Taylorentwicklung erster + zweiter Ordnung (lineare + quadratische) $f(x,y)=\underset{quadratischeapproximation}{\underbrace{\underset{lineareapproximation}{\underbrace{f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)}}+\frac{1}{2!}(f_{xx}(x_0,y_0)(x-x_0{)}^2+2f_{xy}(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0)+f_{yy}(x_0,y_0)(y-yo{)}^2)}}$ + Rest (Glieder höherer ordnung, interessieren uns hier nicht)

Dazu benötigen wir zuerst alle Ableitungen erster und zweiter Ordnung.

Ableitungen

$\begin{array}{cc}{f}_x& =2x(y-1)+e^{y^2}\\ f_y& =x^2+2xy{e}^{y^2}\\ f_{xx}& =2(y-1)\cdot 1+0\\ & =2(y-1)\\ f_{yy}& =0+2x(e^{y^2}+2y^2{e}^{y^2})\\ & =4x{y}^2{e}^{y^2}+2x{e}^{y^2}\\ f_{xy}& =2x\cdot 1+e^{y^2}\cdot 2y\\ & =2(x+y{e}^{y^2})\end{array}$

und Jeweils den Entwicklungspunkt eingesetzt

$\begin{array}{cc}f(-1,0)& =-2\\ f_x(-1,0)& =3\\ f_y(-1,0)& =1\\ f_{xx}(-1,0)& =-2\\ f_{yy}(-1,0)& =-2\\ f_{xy}(-1,0)& =-2\end{array}$

Approximation

jetzt in die Formel der Taylorreihe einsetzen

$-2+3(x+1)+y+\frac{1}{2!}(-2(x+1{)}^2-4(x+1)y-2y^2)$

Lineare Approximation ist also: $3x+y+1$

und die quadratische: lineare + $\frac{1}{2}(-2x^2-4x-2-4xy-4y-2y^2)$

Anmerkung

kann durchaus sein dass ich mich wo verrechnet hab, bitte checken ;-) -thomas 16:00, 10. Nov. 2010 (CET

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Differentialrechnung in mehreren Variablen 16 (ähnliches Beispiel)