TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 146

Man zeige, dass das Vektorfeld $\overrightarrow{f}(x,y)=(y^{\alpha -2},(\alpha -2)x{y}^{\alpha -3})$ eine Stammfunktion besitzt und berechne diese.

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Lösungsvorschlag

$\overrightarrow{f}(x,y)=\left(\begin{array}{c}{f}_1(x,y)\\ f_2(x,y)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{y}^{\alpha -2}\\ (\alpha -2)x{y}^{\alpha -3}\end{array}\right)$

Integrabilitätsbedingung:

$\frac{\partial f_1}{\partial y}=\frac{\partial f_2}{\partial x}$ daher ist $\overrightarrow{f}$ ein Gradientenfeld und es existiert eine Stammfunktion $F(x,y)$ mit $F_x=f_1$ und $F_y=f_2$.

$\frac{\partial f_1}{\partial y}=(\alpha -2)y^{\alpha -2-1}=(\alpha -2)y^{\alpha -3}$

$\frac{\partial f_2}{\partial x}=(\alpha -2)y^{\alpha -3}$

$\begin{array}{cc}{F}_x=f_1\to F& =\int f_1\mathrm{d}x\\ & =\int y^{\alpha -2}\mathrm{d}x\\ & =x{y}^{\alpha -2}+C(y)\end{array}$

$\begin{array}{cc}{F}_y=f_2\to F_y& =\frac{\partial }{\partial y}(x{y}^{\alpha -2}+C(y))\\ & =(\alpha -2)x{y}^{\alpha -2-1}+C^{\prime }(y)\\ & =(\alpha -2)x{y}^{\alpha -3}\end{array}$

$x\cdot (\alpha -2)y^{\alpha -3}+C^{\prime }(y)=(\alpha -2)x{y}^{\alpha -3}$

$C^{\prime }(y)=0\to C(y)=D$, $D\in ℝ$

Also wäre das Integral: $F(x,y)=x{y}^{\alpha -2}+D$ mit $D\in ℝ$

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Integralrechnung in mehreren Variablen 1 (ähnliches Beispiel)
• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 119 (ähnliches Beispiel)
• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 197 (ähnliches Beispiel)