TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 146

Man zeige, dass das Vektorfeld ${\vec {f}}(x,y)=(y^{\alpha -2},(\alpha -2)xy^{\alpha -3})$ eine Stammfunktion besitzt und berechne diese.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

${\vec {f}}(x,y)={\begin{pmatrix}f_{1}(x,y)\\f_{2}(x,y)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y^{\alpha -2}\\(\alpha -2)xy^{\alpha -3}\end{pmatrix}}$

Integrabilitätsbedingung:

${\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}={\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}$ daher ist ${\vec {f}}$ ein Gradientenfeld und es existiert eine Stammfunktion $F(x,y)$ mit $F_{x}=f_{1}$ und $F_{y}=f_{2}$ .

${\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}=(\alpha -2)y^{\alpha -2-1}=(\alpha -2)y^{\alpha -3}$

${\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}=(\alpha -2)y^{\alpha -3}$

${\begin{aligned}F_{x}=f_{1}\rightarrow F&=\int f_{1}\,\mathrm {d} x\\&=\int y^{\alpha -2}\,\mathrm {d} x\\&=xy^{\alpha -2}+C(y)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}F_{y}=f_{2}\rightarrow F_{y}&={\frac {\partial }{\partial y}}\left(xy^{\alpha -2}+C(y)\right)\\&=(\alpha -2)xy^{\alpha -2-1}+C'(y)\\&=(\alpha -2)xy^{\alpha -3}\end{aligned}}$