TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 33

$B$ sei der durch $x=4$, $y=1$ und $x+2y=2$ begrenzt beschränkte Bereich der $(x,y)$-Ebene. Man berechne ${\iint }_{B}12x^2{y}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$.

Lösungsvorschlag

Skizze vom Bereich $B$

$x+2y=2\Rightarrow y=1-\frac{x}{2}$

$y=1-\frac{x}{2}=1\Rightarrow x=0$

$\begin{array}{cc}{\iint }_{B}12x^2{y}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y& ={\int }_0^4{\int }_{1-\frac{x}{2}}^{1}12x^2{y}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =12{\int }_0^4{\int }_{1-\frac{x}{2}}^1{x}^2{y}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =12{\int }_0^4{\frac{1}{3}{x}^2{y}^3|}_{y=1-\frac{x}{2}}^1\mathrm{d}x\\ & =4{\int }_0^4{x}^2\cdot 1^3-x^2\cdot {(1-\frac{x}{2})}^3\mathrm{d}x\\ & =4{\int }_0^4{x}^2-x^2\cdot (1^3-3\cdot 1^2\cdot \frac{x}{2}+3\cdot 1\cdot {\left(\frac{x}{2}\right)}^2-{\left(\frac{x}{2}\right)}^3)\mathrm{d}x\\ & =4{\int }_0^4{x}^2-x^2\cdot (1-\frac{3x}{2}+\frac{3x^2}{4}-\frac{x^3}{8})\mathrm{d}x\\ & =4{\int }_0^4{x}^2-x^2+\frac{3x^3}{2}-\frac{3x^4}{4}+\frac{x^5}{8}\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{4}12x^3-6x^4+x^5\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{2}{(\frac{12x^4}{4}-\frac{6x^5}{5}+\frac{x^6}{6})|}_{x=0}^4\\ & ={(\frac{3x^4}{2}-\frac{3x^5}{5}+\frac{x^6}{12})|}_{x=0}^4\\ & =(\frac{3\cdot 4^4}{2}-\frac{3\cdot 4^5}{5}+\frac{4^6}{12})-(\frac{3\cdot 0^4}{2}-\frac{3\cdot 0^5}{5}+\frac{0^6}{12})\\ & =\frac{3\cdot 256}{2}-\frac{3\cdot 1024}{5}+\frac{4096}{12}=\frac{1664}{15}\approx 110.9333\end{array}$

ACHTUNG

Hier hat sich ein kleiner Fehlerteufel eingeschlichen. es wurde zuerst nach dy integriert obwohl in der notation in den ersten 3 Zeilen dxdy steht. Die grenzen sind auch ausgelegt auf dydx.

Hier habe ich das ganze mal richtiggestellt - entspricht so natürlich nicht der Angabe. Bin zu faul das ganze jetz andersrum mit den grenzen -1..1 und x=2-2y..4 zu rechnen, aber siehe hier für wolfram beweis: http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+12x^2y^2+dy+dx%2C+y%3D-1..1%2C+x%3D2-2y..4 im vergleich zu der anderen variante: http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+12x^2y^2+dy+dx%2C+y%3D-0.5x%2B1..1%2C+x%3D0..4

Hier nochmal in korrekter notation wie das beispiel über mir gerechnet wurde:

$\begin{array}{cc}{\iint }_{B}12x^2{y}^2\mathrm{d}y\mathrm{d}x& ={\int }_0^4{\int }_{1-\frac{x}{2}}^{1}12x^2{y}^2\mathrm{d}y\mathrm{d}x\\ & =12{\int }_0^4{\int }_{1-\frac{x}{2}}^1{x}^2{y}^2\mathrm{d}y\mathrm{d}x\\ & =12{\int }_0^4{\frac{1}{3}{x}^2{y}^3|}_{y=1-\frac{x}{2}}^1\mathrm{d}x\\ & =4{\int }_0^4{x}^2\cdot 1^3-x^2\cdot {(1-\frac{x}{2})}^3\mathrm{d}x\\ & =4{\int }_0^4{x}^2-x^2\cdot (1^3-3\cdot 1^2\cdot \frac{x}{2}+3\cdot 1\cdot {\left(\frac{x}{2}\right)}^2-{\left(\frac{x}{2}\right)}^3)\mathrm{d}x\\ & =4{\int }_0^4{x}^2-x^2\cdot (1-\frac{3x}{2}+\frac{3x^2}{4}-\frac{x^3}{8})\mathrm{d}x\\ & =4{\int }_0^4{x}^2-x^2+\frac{3x^3}{2}-\frac{3x^4}{4}+\frac{x^5}{8}\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{4}12x^3-6x^4+x^5\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{2}{(\frac{12x^4}{4}-\frac{6x^5}{5}+\frac{x^6}{6})|}_{x=0}^4\\ & ={(\frac{3x^4}{2}-\frac{3x^5}{5}+\frac{x^6}{12})|}_{x=0}^4\\ & =(\frac{3\cdot 4^4}{2}-\frac{3\cdot 4^5}{5}+\frac{4^6}{12})-(\frac{3\cdot 0^4}{2}-\frac{3\cdot 0^5}{5}+\frac{0^6}{12})\\ & =\frac{3\cdot 256}{2}-\frac{3\cdot 1024}{5}+\frac{4096}{12}=\frac{1664}{15}\approx 110.9333\end{array}$

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Integralrechnung in mehreren Variablen 5 (ähnliches Beispiel)