TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 33

$B$ sei der durch $x=4$ , $y=1$ und $x+2y=2$ begrenzt beschränkte Bereich der $(x,y)$ -Ebene. Man berechne $\iint _{B}12x^{2}y^{2}\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y$ .

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$x+2y=2\Rightarrow y=1-{\frac {x}{2}}$

$y=1-{\frac {x}{2}}=1\Rightarrow x=0$

$\begin{aligned} \iint_{B} 12 x^{2} y^{2} d x d y & = \int_{0}^{4} \int_{1 - \frac{x}{2}}^{1} 12 x^{2} y^{2} d x d y \\ = 12 \int_{0}^{4} \int_{1 - \frac{x}{2}}^{1} x^{2} y^{2} d x d y \\ = 12 \int_{0}^{4} {\frac{1}{3} x^{2} y^{3} |}_{y = 1 - \frac{x}{2}}^{1} d x \\ = 4 \int_{0}^{4} x^{2} \cdot 1^{3} - x^{2} \cdot {(1 - \frac{x}{2})}^{3} d x \\ = 4 \int_{0}^{4} x^{2} - x^{2} \cdot (1^{3} - 3 \cdot 1^{2} \cdot \frac{x}{2} + 3 \cdot 1 \cdot {(\frac{x}{2})}^{2} - {(\frac{x}{2})}^{3}) d x \\ = 4 \int_{0}^{4} x^{2} - x^{2} \cdot (1 - \frac{3 x}{2} + \frac{3 x^{2}}{4} - \frac{x^{3}}{8}) d x \\ = 4 \int_{0}^{4} \end{aligned}$

ACHTUNG[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hier hat sich ein kleiner Fehlerteufel eingeschlichen. es wurde zuerst nach dy integriert obwohl in der notation in den ersten 3 Zeilen dxdy steht. Die grenzen sind auch ausgelegt auf dydx.

Hier habe ich das ganze mal richtiggestellt - entspricht so natürlich nicht der Angabe. Bin zu faul das ganze jetz andersrum mit den grenzen -1..1 und x=2-2y..4 zu rechnen, aber siehe hier für wolfram beweis: http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+12x^2y^2+dy+dx%2C+y%3D-1..1%2C+x%3D2-2y..4 im vergleich zu der anderen variante: http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+12x^2y^2+dy+dx%2C+y%3D-0.5x%2B1..1%2C+x%3D0..4

Hier nochmal in korrekter notation wie das beispiel über mir gerechnet wurde:

$\begin{aligned} \iint_{B} 12 x^{2} y^{2} d y d x & = \int_{0}^{4} \int_{1 - \frac{x}{2}}^{1} 12 x^{2} y^{2} d y d x \\ = 12 \int_{0}^{4} \int_{1 - \frac{x}{2}}^{1} x^{2} y^{2} d y d x \\ = 12 \int_{0}^{4} {\frac{1}{3} x^{2} y^{3} |}_{y = 1 - \frac{x}{2}}^{1} d x \\ = 4 \int_{0}^{4} x^{2} \cdot 1^{3} - x^{2} \cdot {(1 - \frac{x}{2})}^{3} d x \\ = 4 \int_{0}^{4} x^{2} - x^{2} \cdot (1^{3} - 3 \cdot 1^{2} \cdot \frac{x}{2} + 3 \cdot 1 \cdot {(\frac{x}{2})}^{2} - {(\frac{x}{2})}^{3}) d x \\ = 4 \int_{0}^{4} x^{2} - x^{2} \cdot (1 - \frac{3 x}{2} + \frac{3 x^{2}}{4} - \frac{x^{3}}{8}) d x \\ = 4 \int_{0}^{4} \end{aligned}$

Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Integralrechnung in mehreren Variablen 5 (ähnliches Beispiel)

TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 33

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