TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 5

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Man berechne das Integral $\int _{2}^{3}x^{2}\,\mathrm {d} x$ mit Hilfe von Obersummen bei äquidistanter Intervallteilung.

Hinweis: Man verwende $\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n\left(n+1\right)}{2}}$ und $\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}}$ .

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$x^{2}$ ist streng monoton steigend, wodurch das Maximum eines Teilintervalls ( $\Delta x={\frac {b-a}{n}}$ ) immer "am Ende" ist. Daher kann man Folgendes schreiben:

$\begin{aligned} A & = \int_{a}^{b} f (x) d x \\ = lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} Δ x \cdot f (a + k \cdot Δ x) \\ = lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} Δ x \cdot {(a + k \cdot Δ x)}^{2} \\ = lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n} {(2 + \frac{k}{n})}^{2} \\ = lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n} (4 + \frac{4 k}{n} + \frac{k^{2}}{n^{2}}) \\ = lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{4}{n} + \frac{4 k}{n^{2}} + \frac{k^{2}}{n^{3}} \\ = lim_{n \to \infty} 4 \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n} + \frac{4}{n^{2}} \sum_{k = 1}^{n} k + \frac{1}{n^{3}} \sum_{k = 1}^{n} k^{2} \\ = lim_{n \to \infty} 4 + \frac{4}{n^{2}} \cdot n (n + \end{aligned}$

Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

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