TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 5

Dieser Artikel überschneidet sich oder ist ident mit TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 201. Vergleich

Man berechne das Integral ${\int }_2^3{x}^2\mathrm{d}x$ mit Hilfe von Obersummen bei äquidistanter Intervallteilung.

Hinweis: Man verwende $\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ und $\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

Lösungsvorschlag

$x^2$ ist streng monoton steigend, wodurch das Maximum eines Teilintervalls ($\Delta x=\frac{b-a}{n}$) immer "am Ende" ist. Daher kann man Folgendes schreiben:

$\begin{array}{cc}A& ={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\Delta x\cdot f(a+k\cdot \Delta x)\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\Delta x\cdot (a+k\cdot \Delta x{)}^2\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{1}{n}{(2+\frac{k}{n})}^2\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{1}{n}(4+\frac{4k}{n}+\frac{k^2}{n^2})\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{4}{n}+\frac{4k}{n^2}+\frac{k^2}{n^3}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}4\sum _{k=1}^n\frac{1}{n}+\frac{4}{n^2}\sum _{k=1}^{n}k+\frac{1}{n^3}\sum _{k=1}^n{k}^2\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}4+\frac{4}{n^2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}+\frac{1}{n^3}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{24n^2+12n(n+1)+(n+1)(2n+1)}{6n^2}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{24n^2+12n^2+12n+2n^2+2n+n+1}{6n^2}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{38n^2+15n+1}{6n^2}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{38+\frac{15}{n}+\frac{1}{n^2}}{6}\\ & =\frac{38}{6}=\frac{19}{3}=6+\frac{1}{3}\end{array}$

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 23 (ähnliches Beispiel)