TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 51

Vom neuesten Modell eines Mobiltelefonproduzenten werden im Weihnachtsgeschäft 8000 Stück abgesetzt, nach 10 Monaten sind davon nur mehr 7680 Stück in Betrieb. Unter der Annahme, dass die monatliche Ausscheiderate proportional zur Nutzungsdauer ist, bestimme man die Anzahl $y(t)$ der in Betrieb stehenden Mobiltelefone (von den ursprünglich 8000 Stück) in Abhängigkeit von ihrer Verwendungsdauer $t$, sowie die längste Nutzungsdauer.

Lösungsvorschlag

Wir setzen $y(t)$ als eine in Abhängigkeit von der Zeit $t$ ($t$ in Monaten) stehende Funktion fest, welche die Anzahl der sich noch im Betrieb befindlichen Mobiltelefone zum Zeitpunkt t wiedergibt:

• $y(0)=8000$ (Am Beginn 8000 Stück)
• $y(10)=7680$ (Nach 10 Monaten 7680 Stück in Betrieb)

Da wir zunächst nur Daten für die Ausscheidrate zur Verfügung haben, können wir zunächst nur die Funktion $y'(t)$ beschreiben, welche die Ausscheidung zum Zeitpunkt $t$ beschreibt. Diese setzt sich zusammen aus der Dauer in Monaten ($t$) und einem Koeffizienten $p$, welcher das proportionale Verhältnis von Ausscheidrate und Nutzungsdauer beschreibt, also:

$y'(t)=t\cdot p$ (Wir sehen auch: je grösser dieser Koeffizient ist, umso länger ist die Nutzungsdauer!)

$y(t)$ erhalten wir durch Integration von $y'(t)$:

${\begin{aligned}y'(t)&=t\cdot p\\y(t)&={\frac {1}{2}}t^{2}\cdot p+C\end{aligned}}$

$y(0)=8000={\frac {1}{2}}\cdot 0^{2}\cdot p+C\Rightarrow C=8000$

$y(10)=7680={\frac {1}{2}}\cdot 10^{2}\cdot p+8000\Rightarrow p=-{\frac {32}{5}}=-6.4$

$y(t)$ lautet somit komplett:

$y(t)=8000-{\frac {16}{5}}t^{2}$

Die längste Nutzungsdauer errechnen wir, indem wir $y(t)=0$ setzen:

${\begin{aligned}0&=8000-{\frac {16}{5}}t^{2}\\{\frac {16}{5}}t^{2}&=8000\\t^{2}&=2500\\t&=50\end{aligned}}$

Die längste Nutzungsdauer beträgt somit 50 Monate, also etwas mehr als 4 Jahre.

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Differentialgleichungen 16 (ähnliches Beispiel)