TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 57

Gesucht ist eine in der Nähe von (a) $x_0=4$ bzw. (b) $x_0=-1$ gelegene Nullstelle der Funktion $f(x)=e^{-2x}+x^2/2-7$.

Lösungsvorschlag von Kegelbua99

Newtonsche Näherungsverfahren:

$f(x)=e^{-2x}+x^2/2-7$

1. Ableitung:

$f^{\prime }(x)=e^{-2x}\cdot (-2)+2x/2=-2e^{-2x}+x$

Formel des Newtonschen Näherungsverfahrens:

$\begin{array}{cc}{x}_{n+1}& =x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}\\ & =x_n-\frac{e^{-2x_n}+x_n^2/2-7}{-2e^{-2x_n}+x_n}\\ & =x_n+\frac{e^{-2x_n}+x_n^2/2-7}{2e^{-2x_n}-x_n}\end{array}$

Berechnungen

$n$	$x_{1,n}$	$x_{2,n}$
0	4	-1
1	3.7498741804	-0.9436525683
2	3.7415163919	-0.9403447804
3	3.7415070335	-0.9403341366
4	3.7415070335	-0.9403341365
5	3.7415070335	-0.9403341365
6	3.7415070335	-0.9403341365

Fixpunkte

$x_1=3.7415070335$

$x_2=-0.9403341365$

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Auflösung von Gleichungen und Gleichungssystemen 5 (ähnliches Beispiel)