TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 57

Gesucht ist eine in der Nähe von (a) $x_{0}=4$ bzw. (b) $x_{0}=-1$ gelegene Nullstelle der Funktion $f(x)=e^{-2x}+x^{2}/2-7$.

Lösungsvorschlag von Kegelbua99

Newtonsche Näherungsverfahren:

$f(x)=e^{-2x}+x^{2}/2-7$

1. Ableitung:

$f'(x)=e^{-2x}\cdot (-2)+2x/2=-2e^{-2x}+x$

Formel des Newtonschen Näherungsverfahrens:

${\begin{aligned}x_{n+1}&=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}\\&=x_{n}-{\frac {e^{-2x_{n}}+x_{n}^{2}/2-7}{-2e^{-2x_{n}}+x_{n}}}\\&=x_{n}+{\frac {e^{-2x_{n}}+x_{n}^{2}/2-7}{2e^{-2x_{n}}-x_{n}}}\end{aligned}}$

Berechnungen

$n$	$x_{1,n}$	$x_{2,n}$
0	4	-1
1	3.7498741804	-0.9436525683
2	3.7415163919	-0.9403447804
3	3.7415070335	-0.9403341366
4	3.7415070335	-0.9403341365
5	3.7415070335	-0.9403341365
6	3.7415070335	-0.9403341365

Fixpunkte

$x_{1}=3.7415070335$

$x_{2}=-0.9403341365$

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Auflösung von Gleichungen und Gleichungssystemen 5 (ähnliches Beispiel)