TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 9

Man berechne den Effektivwert $I_{e}ff$ der Stromstärke eines Wechselstroms $i(t)=i_0\sin (t)$ gemäß

$I_{eff}=\sqrt{\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{i}^2(t)\mathrm{d}t}$.

Hilfreiches

$\int {\sin }^{2}x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}(x-\sin x\cdot \cos x)$

Lösungsvorschlag

$\begin{array}{cc}{I}_{eff}& =\sqrt{\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{i}^2(t)\mathrm{d}t}\\ & =\sqrt{\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{i}_0^2\cdot {\sin }^2(t)\mathrm{d}t}\\ & =\sqrt{\frac{i_0^2}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{\sin }^2(t)\mathrm{d}t}\\ & =\sqrt{\frac{i_0^2}{2\pi }{\left[\frac{1}{2}(t-\sin t\cdot \cos t)\right]}_0^{2\pi }}\\ & =\sqrt{\frac{i_0^2}{2\pi }\cdot \frac{2\pi }{2}}\\ & =\sqrt{\frac{i_0^2}{2}}\\ & =\frac{i_0}{\sqrt{2}}\end{array}$