TU Wien:Mathematik 2 VO (Karigl)/Prüfung 2009-03-13

Beispiel 1

$\phi (x,y,z)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\ast \frac{px}{(x^2+y^2+z^2{)}^{\frac{3}{2}}}$

Sinngemäß (die Aufgabe war als Textaufgabe angegeben.) : $\pi ,{\epsilon }_0$ und $p$ sind Konstanten, man berechne den $grad\phi$

Lösung:

aus Mathe UE

alternativ kann man es auch mit der Produktregel lösen.

Beispiel 2

Man berechne das folgende Bereichsintegral unter den Grenzen $1\le x\le 4$ und $1\le y\le 2$.

$\underset{B}{\iint }(1+xy)dxdy$

Lösung:

Lösung

Anmerkung:

Analoges Bsp. mit Lösung bei der Prüfung 15-5-2009 Bsp 1

Beispiel 3

Die homogene Differentialgleichung $y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=0$ hat die allgemeine Lösung $y_{(x)}=(C_1+C_{2}x)\ast e^{-5x}$

• Wie lauten die koeffizienten p und q?
• Man berechne die partikuläre Lösung für $y_{(0)}=-1$ und $y{\text{'}}_{(0)}=11$

Lösung: wir wissen aus der Angabe, dass lambda = -5 und das lambda1 = lambda2 Daraus folgt, dass Diskriminante = 0 (s.284)

daher: in Formel einsetzen (siehe p-q-Formel bzw. einfach aus Mitternachtsformel ableiten)

-5 = -p/2 +/- 0 = -p/2 = - 5 => p = 10

p^2/2 - q = 0 => 100/4=25 = q

dann in die Formel von der Angabe einsetzen, d.h. für y(x) wird für x Null eingesetzt. (C1 + C2x) * e^lambda*x ergibt C1 = -1

dann $(C1+C2x)\ast e^{\lambda \ast x}$ ableiten und erst dann die werte für x bzw. C1 einsetzen ergibt c2 = 6

Anmerkung:

ich erhalte für c2 = 11 (vorzeichen?!)

Beispiel 4

Man beweise das für die Gammafunktion $\Gamma (x)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t}\ast t^{x-1}dt$ folgendes gilt:

• $\Gamma (x+1)=x\ast \Gamma (x)$
• und schließe daraus das dies auch für $\Gamma (x+2)$ usw. gilt.

Lösung im Forum

oder siehe s.219

Beispiel 5 (Lösung unsicher!)

Beim "Babylonischen Wurzelziehen" titt folgende Iterationsfolge auf: $x_{n+1}=\frac{1}{2}\ast (x_n+\frac{a}{x_n})$ ($x(0)>0$)

• a) Wie darf $x(0)$ initiert werden, damit das Verfahren funktioniert?

[] $x(0)=0$

[X] $x(0)=1$

[X] $x(0)=a$

• b) Ist diese Folge (nach dem 2. Glied)

[x] Monoton Fallend

[] Monoton Steigend

[] nicht Monoton

• c) Lassen sich mit dieser Folge die Quadratwurzeln von Zahlen allein mit Grundrechenarten approximativ berechnen?

[X]Ja (s.271)

[]Nein

• d) Konvergiert diese Folge Gegen

[] eine Nullstelle

[x] einen Fixpunkt

[] gar nicht

• e) Ist diese Folge ein Spezialfall des Newtonschen Näherungsverfahrens?

[x] Ja

[] Nein

laut Post

Links

Diskussion der Beispiele