TU Wien:Mathematik 3 UE (diverse)/Übungen WS09/Beispiel 98

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Man betrachte das folgende System von gewöhnlichen linearen Differentialgleichungen erster Ordnung für x_1(t), x_2(t) mit vorgegebenen Anfangswerten:
\begin{matrix}\dot{x}_{1}=x_{1}-5x_{2}+1 & x_1(0)=0 \\ \dot{x}_{2}=5x_{1}+x_{2}   & x_1(0)=0\end{matrix}
Man löse nun dieses System auf folgende Weise (Eliminationsmethode). Zuerst elimiere man x_2 aus dem Gleichungssystem: Ableiten von
x_{2}=\frac{-\dot{x}_{1}+x_{1}+1}{5}
und Einsetzen in die zweite Gleichung liefert für x_1 eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Man bestimme die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung für x_1 und danach durch Rücksubstitution auch die allgemeine Lösung für x_2. Anpassen an die Anfangsbedingungen liefert schließlich die gesuchte Lösung.

Berechnung von x1, x2[Bearbeiten]

x_{2}=\frac{-\dot{x}_{1}+x_{1}+1}{5}

\dot{x}_{2}=\frac{-\ddot{x}_{1}+\dot{x}_{1}}{5}

x_{1}^{(h)}=e^{t}\left(C_{1}\cos\left(5t\right)+C_{2}\sin\left(5t\right)\right)

x_{1}^{(p)}=-\frac{1}{26}

x_{1}=e^{t}\left(C_{1}\cos\left(5t\right)+C_{2}\sin\left(5t\right)\right)-\frac{1}{26}

x_{2}=e^{t}\left(\left(6C_{1}+5C_{2}\right)\cos\left(5t\right)+\left(6C_{2}-5C_{1}\right)\sin\left(5t\right)\right)

--Anwesender 14:39, 21. Jan. 2010 (CET)

Lösung von windschuetze[Bearbeiten]

98a.png 98b.png

alternative Lösung[Bearbeiten]

Websites[Bearbeiten]