TU Wien:Mathematik 3 UE (diverse)/Übungen WS09/Beispiel 98

Man betrachte das folgende System von gewöhnlichen linearen Differentialgleichungen erster Ordnung für

x_{1} (t)

,

x_{2} (t)

mit vorgegebenen Anfangswerten:

\begin{matrix} {\dot{x}}_{1} = x_{1} - 5 x_{2} + 1 & x_{1} (0) = 0 \\ {\dot{x}}_{2} = 5 x_{1} + x_{2} & x_{1} (0) = 0 \end{matrix}

Man löse nun dieses System auf folgende Weise (Eliminationsmethode). Zuerst elimiere man

x_{2}

aus dem Gleichungssystem: Ableiten von

x_{2} = \frac{- {\dot{x}}_{1} + x_{1} + 1}{5}

und Einsetzen in die zweite Gleichung liefert für

x_{1}

eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Man bestimme die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung für

x_{1}

und danach durch Rücksubstitution auch die allgemeine Lösung für

x_{2}

. Anpassen an die Anfangsbedingungen liefert schließlich die gesuchte Lösung.

Berechnung von x1, x2

$x_{2} = \frac{- {\dot{x}}_{1} + x_{1} + 1}{5}$

${\dot{x}}_{2} = \frac{- {\ddot{x}}_{1} + {\dot{x}}_{1}}{5}$

$x_{1}^{(h)} = e^{t} (C_{1} \cos (5 t) + C_{2} \sin (5 t))$

$x_{1}^{(p)} = - \frac{1}{26}$

$x_{1} = e^{t} (C_{1} \cos (5 t) + C_{2} \sin (5 t)) - \frac{1}{26}$

$x_{2} = e^{t} ((6 C_{1} + 5 C_{2}) \cos (5 t) + (6 C_{2} - 5 C_{1}) \sin (5 t))$

--Anwesender 14:39, 21. Jan. 2010 (CET)