TU Wien:Mathematik 3 UE (diverse)/Übungen WS09/Beispiel 98

Man betrachte das folgende System von gewöhnlichen linearen Differentialgleichungen erster Ordnung für

x_{1}(t)

,

x_{2}(t)

mit vorgegebenen Anfangswerten:

{\begin{matrix}{\dot {x}}_{1}=x_{1}-5x_{2}+1&x_{1}(0)=0\\{\dot {x}}_{2}=5x_{1}+x_{2}&x_{1}(0)=0\end{matrix}}

Man löse nun dieses System auf folgende Weise (Eliminationsmethode). Zuerst elimiere man

x_{2}

aus dem Gleichungssystem: Ableiten von

x_{2}={\frac {-{\dot {x}}_{1}+x_{1}+1}{5}}

und Einsetzen in die zweite Gleichung liefert für

x_{1}

eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Man bestimme die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung für

x_{1}

und danach durch Rücksubstitution auch die allgemeine Lösung für

x_{2}

. Anpassen an die Anfangsbedingungen liefert schließlich die gesuchte Lösung.

Berechnung von x1, x2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$x_{2}={\frac {-{\dot {x}}_{1}+x_{1}+1}{5}}$

${\dot {x}}_{2}={\frac {-{\ddot {x}}_{1}+{\dot {x}}_{1}}{5}}$

$x_{1}^{(h)}=e^{t}\left(C_{1}\cos \left(5t\right)+C_{2}\sin \left(5t\right)\right)$

$x_{1}^{(p)}=-{\frac {1}{26}}$

$x_{1}=e^{t}\left(C_{1}\cos \left(5t\right)+C_{2}\sin \left(5t\right)\right)-{\frac {1}{26}}$

$x_{2}=e^{t}\left(\left(6C_{1}+5C_{2}\right)\cos \left(5t\right)+\left(6C_{2}-5C_{1}\right)\sin \left(5t\right)\right)$

--Anwesender 14:39, 21. Jan. 2010 (CET)