TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 107

Gegeben ist ein Kegel mit Höhe h und Basiskreisradius r. Berechnen Sie die Mantelfläche, indem Sie den Kegel als Rotationskörper interpretieren.

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Lösungsvorschlag

Eine Gerade die durch den Koordinatenursprung verläuft und sich um die x-Achse dreht, bildet einen Kegel.

Die Gerade können wir mittels ihren Anstieg beschreiben, also: $f(x)=\alpha x$, mit $\alpha =\frac{r}{h}$

Es gilt außerdem $s^2=r^2+h^2$ (Wird für die Herleitung von $M=\pi rs$ benötigt.)

Nun setzen wir diese Funktion in der Formel zur Berechnung von Mantelflächen von Rotationskörpern (siehe Mathematik für Informatik S.258)

$\begin{array}{ccc}& M=2\pi {\int }_{x=0}^{x=h}f(x)\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}dx& =2\pi {\int }_0^h\alpha x\sqrt{1+((\alpha x{)}^{\prime }{)}^2}dx\\ & =2\pi \alpha \sqrt{1+{\alpha }^2}{\int }_0^{h}xdx\\ & =2\pi \alpha \sqrt{1+{\alpha }^2}\frac{h^2}{2}\\ & =\pi \frac{r}{h}{h}^2\sqrt{1+{\alpha }^2}\\ & =\pi rh\sqrt{1+\frac{r^2}{h^2}}\\ & =\pi rh\sqrt{\frac{h^2+r^2}{h^2}}=\pi rs\end{array}$