TU Wien:Mathematische Methoden des Visual Computing VU (Panholzer)/Übungen SS14/Beispiel 187

Im Vektorraum $V=\mathbb {C} ^{N}$ gebe man ein geeignetes Skalarprodukt $\langle {\vec {f}},{\vec {g}}\rangle$ an, so dass die $N$ Vektoren

$\left\{{\vec {u}}_{k}=\left(e^{{\frac {2\pi i}{N}}kj},j=0,\ldots ,N-1\right),k=0,\ldots ,N-1\right\}$

eine eine Orthonormalbasis in $V$ bilden. Aus der allgemeinen Parseval'schen Gleichung

$\sum _{k}|\langle f,u_{k}\rangle |^{2}=\|f\|^{2}$

Hilfreiches

Parseval'sche Gleichung

Parseval'sche Gleichung

Für eine T-periodische auf $[0,T]$ stückweise stetige Funktion $f(t)$ gilt:

$\sum _{k=-\infty }^{\infty }|c_{k}|^{2}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}|f(t)|^{2}\,\mathrm {d} t$