TU Wien:Mathematisches Arbeiten VU (Hetzl)/Übungen 2023W/Beispiel 8

Aufgabe 1. Berechnen Sie:

a) $\sum _{k=1}^{4}2^{2k-1}$

b) $\prod _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{i}(2j-i)$

c) $\sum _{i=0}^{2}\prod _{j=0}^{2}(-1)^{j}{\frac {i+1}{j+1}}$

Stellen Sie die folgenden Ausdrücke mit einem Summen- bzw. Produktzeichen dar:

d) $1+3x+5x^{2}+7x^{3}+9x^{4}+11x^{5}$

e) $2*{\frac {3}{4}}*{\frac {4}{9}}*{\frac {5}{16}}*{\frac {6}{25}}$

f) $x^{5}+x^{4}y+x^{3}y^{2}+x^{2}y^{3}+xy^{4}+y^{5}$

Aufgabe 2. Für $n\geq 1$ sei die n-te Dreieckszahl $D_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}$ . Zeigen Sie dass $D_{n}+D_{n+1}$ eine Quadratzahl ist.

.

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== Lösungsvorschlag von ~~~ ==
--~~~~

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$

$\prod _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}*a_{2}*...*a_{n}$

Lösungsvorschlag von L[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aufgabe 1)

a)

$\sum _{k=1}^{4}2^{2k-1}=2^{2-1}+2^{4-1}+2^{6-1}+2^{8-1}=2^{1}+2^{3}+2^{5}+2^{7}=170$

b)

$\prod _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{i}(2j-i)=(2-1)*((2-2)+(4-2))*((2-3)+(4-3)+(6-3))=6$

c)

$\sum _{i=0}^{2}\prod _{j=0}^{2}(-1)^{j}{\frac {i+1}{j+1}}=((-1)^{0}{\frac {0+1}{0+1}})*((-1)^{1}{\frac {0+1}{1+1}})*(-1)^{2}{\frac {0+1}{2+1}})+((-1)^{0}{\frac {1+1}{0+1}})*((-1)^{1}{\frac {1+1}{1+1}})*(-1)^{2}{\frac {1+1}{2+1}})+((-1)^{0}{\frac {2+1}{0+1}})*((-1)^{1}{\frac {2+1}{1+1}})*(-1)^{2}{\frac {2+1}{2+1}})=$