TU Wien:Mathematisches Arbeiten VU (Hetzl)/Übungen 2023W/Beispiel 8

Aufgabe 1. Berechnen Sie:

a) $\sum _{k=1}^4{2}^{2k-1}$

b) $\prod _{i=1}^3\sum _{j=1}^i(2j-i)$

c) $\sum _{i=0}^2\prod _{j=0}^2(-1{)}^j\frac{i+1}{j+1}$

Stellen Sie die folgenden Ausdrücke mit einem Summen- bzw. Produktzeichen dar:

d) $1+3x+5x^2+7x^3+9x^4+11x^5$

e) $2\ast \frac{3}{4}\ast \frac{4}{9}\ast \frac{5}{16}\ast \frac{6}{25}$

f) $x^5+x^{4}y+x^3{y}^2+x^2{y}^3+x{y}^4+y^5$

Aufgabe 2. Für $n\ge 1$ sei die n-te Dreieckszahl $D_n=\frac{n(n+1)}{2}$ . Zeigen Sie dass $D_n+D_{n+1}$eine Quadratzahl ist.

.

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== Lösungsvorschlag von ~~~ ==
--~~~~

Siehe auch Hilfe:Formeln und Hilfe:Beispielseiten.

Hilfreiches

$\sum _{i=1}^n{a}_i=a_1+a_2+\mathrm{...}+a_n$

$\prod _{i=1}^n{a}_i=a_1\ast a_2\ast \mathrm{...}\ast a_n$

Lösungsvorschlag von L

Aufgabe 1)

a)

$\sum _{k=1}^4{2}^{2k-1}=2^{2-1}+2^{4-1}+2^{6-1}+2^{8-1}=2^1+2^3+2^5+2^7=170$

b)

$\prod _{i=1}^3\sum _{j=1}^i(2j-i)=(2-1)\ast ((2-2)+(4-2))\ast ((2-3)+(4-3)+(6-3))=6$

c)

$\sum _{i=0}^2\prod _{j=0}^2(-1{)}^j\frac{i+1}{j+1}=((-1{)}^0\frac{0+1}{0+1})\ast ((-1{)}^1\frac{0+1}{1+1})\ast (-1{)}^2\frac{0+1}{2+1})+((-1{)}^0\frac{1+1}{0+1})\ast ((-1{)}^1\frac{1+1}{1+1})\ast (-1{)}^2\frac{1+1}{2+1})+((-1{)}^0\frac{2+1}{0+1})\ast ((-1{)}^1\frac{2+1}{1+1})\ast (-1{)}^2\frac{2+1}{2+1})=$

$=-\frac{1}{6}-\frac{4}{3}-\frac{9}{2}=-6$

d)

$1+3x+5x^2+7x^3+9x^4+11x^5=\sum _{i=0}^5(2\ast i+1)\ast x^i$

e)

$2\ast \frac{3}{4}\ast \frac{4}{9}\ast \frac{5}{16}\ast \frac{6}{25}=\prod _{i=2}^6\frac{i}{(i-1{)}^2}$

f)

$x^5+x^{4}y+x^3{y}^2+x^2{y}^3+x{y}^4+y^5=\sum _{i=0}^5{x}^{5-i}\ast y^i$

Aufgabe 2)

$D_n=\frac{n(n+1)}{2}\Rightarrow D_{n+1}=\frac{(n+1)\ast (n+2)}{2}$

$D_n+D_{n+1}=\frac{n(n+1)+(n+1)(n+2)}{2}=\frac{n^2+n+n^2+2n+n+2}{2}=\frac{2n^2+4n+2}{2}=n^2+2n+1=(n+1{)}^2$