TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Gurker)/Übungen WS11/Beispiel 3.9

[Poissonverteilung] Angenommen, bei der Herstellung von optischen Speichermedien (CDs) treten Verunreinigungen durch Staubteilchen gemäß einer Poissonverteilung mit einem Mittelwert von 0.0002 Teilchen pro cm² auf. Die CDs haben eine Fläche von 100 cm².

(a) Wenn 50 CDs untersucht werden, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß keine Teilchen entdeckt werden?

(b) Wieviele CDs müssen im Mittel untersucht werden, bevor ein Teilchen entdeckt wird?

(c) Wenn 50 CDs untersucht werden, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß es darunter höchstens 2 CDs mit einem oder mehr Teilchen gibt?

Hilfreiches

Poissonverteilung

Poissonverteilung

"Verteilung der seltenen Ereignisse".

Sie nähert, wenn ein großes $n$ und ein kleines $p$ vorliegt, die Binomialverteilung sehr gut an. (Faustregel: $p<.1$ und $n>50$.) In diesem Fall ist $\lambda =n\cdot p$.

${\begin{aligned}\lambda =&g\cdot w\quad \ldots \ {\text{“Parameter” der Verteilung, glz. auch Erwartungswert und Varianz}}\\&g\ldots \ {\text{Ereignisrate}}\\&w\ldots \ {\text{Beobachtungsintervall}}\\\end{aligned}}$

$W(\{i\})={\dfrac {\lambda ^{i}\cdot e^{-\lambda }}{i!}}$

(anm.: in der VO wird $\mu$ statt $\lambda$ verwendet.)

Wikipedia

Lösungsvorschlag

$\mu =0,0002/cm^{2}=0,02/{\text{CD}}$

a)

$\left(P_{0,02}(X=0)\right)^{50}=\left(e^{-0,02}\right)^{50}=0,3678$

b)

$\mathbb {E} =1$

$1=0,02\cdot x$

$\Rightarrow x=50$

c)

$P_{0,02}(X=0)^{50}\quad \ldots {\text{keine}}$

${\binom {50}{1}}P_{0,02}(X=0)^{49}\left(1-P_{0,02}(X=0)\right)\quad \ldots {\text{eine}}$

${\binom {50}{2}}P_{0,02}(X=0)^{48}\left(1-(P_{0,02}(X=0))^{2}\right)\quad \ldots {\text{zwei}}$

$\approx 0,90$

von --Raven24 (Diskussion) 17:07, 4. Okt. 2014 (CEST) (wurde so in der UE besprochen)

Erläuterungen von Ryus

Da wir im Mittel 0.0002 Teilchen pro cm² haben und eine CD eine Fläche von 100cm² haben, haben wir für c CDs einen Mittelwert von 0.02*c pro cm² (= $\lambda$). Das heißt die Wahrscheinlichkeitsfunktion unserer Poisson-Verteilung lautet für c CDs:

$p(x)={\frac {(0.02c)^{x}e^{-0.02c}}{x!}}$

Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf einer Fläche von c CDs x Teilchen gefunden werden.

a

Es gibt hier zwei Ansätze zur Lösung:

1. Ansatz

Eine Eigenschaft von Poisson-Prozessen ist die Unabhängigkeit. Das heißt die Anzahl an Vorkommnissen in nicht überlappenden Intervallen (also auf verschiedenen CDs) sind unabhängig. Das bedeutet, wenn wir die Wahrscheinlichkeit wissen wollen, dass bei 50 CDs keine Teilchen gefunden werden, können wir die Wahrscheinlichkeit für eine CD einfach hoch 50 nehmen:

$p_{0.02}(0)^{5}0=(e^{-0.02})^{5}0=e^{-1}=0.3678794....$

2. Ansatz

Wir nehmen die Wahrscheinlichkeitsfunktion für eine Fläche von 0.02*50 (=1), also der Fläche von 50 CDs:

$p_{1}(0)=(e^{-0.02})^{5}0=e^{-1}=0.3678794....$

b

Ich bin mir bei diesem Beispiel nicht ganz sicher, vor allem da in der Lösung des Skriptums 49.5 steht, ich aber auf 50 komme. Da es Raven24 aber auch so gemacht zu haben scheint, erläutere ich diesen Ansatz mal:

Wir wollen wissen, wie viele CDs im Mittel untersucht werden, bevor ein Teilchen entdeckt wird. Wir wollen also wissen bei wievielen untersuchten CDs genau ein Teilchen zu erwarten ist. Daher setzen wir also den Erwartungswert gleich 1:

$\mathbb {E} (X)=1$

Den Erwartungswert der Poisson-Verteilung ist $\lambda$, also für c cds $0.02c$. Wir formen also um:

$1=0.02c$

$c={\frac {1}{0.02}}=50$

c

Hierfür addieren wir die Wahrscheinlichkeit, dass unter 50 CDs keine Teilchen gefunden werden + Wsl, dass unter 50 CDs ein Teilchen gefunden wird + Wsl., dass unter 50 CDs zwei Teilchen gefunden werden:

Erstere haben wir bereits in a berechnet ($e^{-1}$).

Zweitere berechnet sich aufgrund der Unabhängigkeit durch:

${\binom {50}{1}}p(0)^{49}*(1-p(0))=0.372$

p bezeichnet die Wahrscheinlichkeit für eine CD. Der Binomialkoeffizient vorne ist da, da wir 50 über 1 Möglichkeiten haben, welche der 50 CDs ein Teilchen besitzen kann. Bei 49 CDs tritt dann die 0-Wahrscheinlichkeit ein, und bei der einen mit Teilchen das Komplement dieser.

Die dritte Wahrscheinlichkeit ist dann:

${\binom {50}{2}}p(0)^{48}*(1-p(0))^{2}=0.184$

Analog. Das alles addiert und wir erhalten 0.9234.

Ryus (Diskussion) 19:34, 17. Sep. 2016 (CEST)

Links

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