TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Levajkovic)/Übungen 2022W/HW01.3

Independence

Let A and B be independent events.

(a) Prove that $A^{c}$ and $B^{c}$ are also independent.

(b) If we additionally know that $P(A|B)=0.6$ and $P(B|A)=0.3$, compute the probabilities of the following events

(i) at most one of A or B

(ii) either A or B but not both.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

Beweis für (a) von StackExchange:

${\begin{aligned}P(A^{c}\cap B^{c})&=1-P(A\cup B)\\&=1-P(A)-P(B)+P(A\cap B)\\&=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)\\&=(1-P(A))(1-P(B))\\&=P(A^{c})P(B^{c}).\end{aligned}}$

Siehe auch diese PDF von math.dartmouth.edu.

(b):

i): $1-P(A)P(B)=1-0.6\cdot 0.3=0.82$

ii): $P(A)+P(B)-2\cdot P(A)P(B)=0.6+0.3-2(0.6\cdot 0.3)=0.54$