TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Levajkovic)/Übungen 2022W/HW01.4

Urn problem

There are 8 red and 2 black balls in an urn. John takes ${\textstyle n}$ balls at once. What is the minimal number of balls that he should take so the probability that there is at least one black ball among those that he took, is greater than ${\textstyle {\frac {2}{3}}?}$

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{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag von Simplex

$P({\text{1+ black}})=1-P({\text{no black}})$:

$n=1:1-{\frac {8}{10}}={\frac {1}{5}}$

$n=2:1-{\frac {8}{10}}\cdot {\frac {7}{9}}={\frac {34}{90}}$

$n=3:1-{\frac {\cancel {8}}{10}}\cdot {\frac {7}{9}}\cdot {\frac {6}{\cancel {8}}}={\frac {48}{90}}$

$n=4:1-{\frac {\cancel {8}}{10}}\cdot {\frac {\bcancel {7}}{9}}\cdot {\frac {6}{\cancel {8}}}\cdot {\frac {5}{\bcancel {7}}}={\frac {60}{90}}$

$n=5:1-{\frac {\cancel {8}}{10}}\cdot {\frac {\bcancel {7}}{9}}\cdot {\frac {\cancel {6}}{\cancel {8}}}\cdot {\frac {5}{\bcancel {7}}}\cdot {\frac {4}{\cancel {6}}}={\frac {70}{90}}$

$\Rightarrow n=5$

--Simplex 21:26, 12. Dez. 2022 (CET)

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