TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Levajkovic)/Übungen 2022W/HW02.2

A left-turn lane problem

A civil engineer is studying a left-turn lane that is long enough to hold six cars. Let $X$ be the number of cars in the lane at the end of a randomly chosen red light. The engineer believes that the probability that $X=x$ is proportional to $(x+1)(7-x)$.

(a) Find the probability mass function (pmf) of $X$.

(b) Compute the probability that $X$ will be at most 5.

(c) Calulate the expectation and standard deviation of $X$.

Note: R might be useful.

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Lösungsvorschlag von Simplex

(a)

value	x	0	1	2	3	4	5	6	...
pmf	p(x)	7a	12a	15a	16a	15a	12a	7a	...
cdf	F(x)	7a	19a	34a	50a	65a	77a	84a	...

$\Rightarrow a=84$

$p(x)={\frac {(x+1)(7-x)}{84}}$

(b)

$F(5)={\frac {77}{84}}\approx 91.67\%$

(c)

Expectation: $\mathbb {E} (x)=\sum _{i=1}^{6}x_{i}\cdot p(x_{i})={\frac {252}{84}}=3$

$\mathbb {E} (X^{2})=\sum _{i=1}^{6}x_{i}^{2}\cdot p(x_{i})={\frac {1008}{84}}=12$

$\mathbb {V} ar(X)=\mathbb {E} (X^{2})-(\mathbb {E} (X))^{2}=12-3^{2}=3$

Standard deviation: $\sigma ={\sqrt {\mathbb {V} ar(X)}}={\sqrt {3}}$

$P({\text{w from second box}})={\frac {14}{34}}+{\frac {15}{27}}\cdot {\frac {2}{34}}={\frac {14\cdot 27+30}{27\cdot 34}}={\frac {408}{918}}\approx 44,44\%$

--Simplex 00:19, 14. Dez. 2022 (CET)

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