TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Levajkovic)/Übungen 2022W/HW02.3

Density and distribution function

Let $X$ a continuous random variable with the probability density function (pdf)

$f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {b\ln x}{x}},&x\in (e,e^{2})\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}},$

where $b$ is a positive real constant.

(a) Determine the value of $b$.

(b) Find the cumulative distribution function of $X$.

(c) Compute the expectation of $Z=2X^{2}+5$.

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Lösungsvorschlag von Simplex

$P(e\geq X\geq e^{2})=\int _{e}^{e^{2}}b\cdot {\frac {ln(x)}{x}}dx=b\cdot \int _{e}^{e^{2}}b\cdot {\frac {s}{\cancel {x}}}\cdot {\cancel {x}}ds=b\cdot {\frac {s^{2}}{2}}{\Bigr |}_{e}^{e^{2}}=b\cdot {\frac {\ln ^{2}(x)}{2}}{\Bigr |}_{e}^{e^{2}}{\frac {b}{2}}\cdot (\ln ^{2}(e^{2})-\ln ^{2}(e))={\frac {3}{2}}b\Rightarrow {\frac {3}{2}}b=1\Rightarrow b={\frac {2}{3}}$

(a)

cdf: $F(x)=P(X\geq x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)dt={\frac {b\cdot \ln ^{2}(t)}{2}}{\Bigr |}_{-\infty }^{x}={\frac {b}{2}}\cdot (ln^{2}(x)-\overbrace {ln^{2}(-\infty )} ^{-\infty }$

$F(x)={\begin{cases}0,&x<e\\{\frac {\cancel {2}}{3}}\cdot {\frac {\ln ^{2}(x)-1}{\cancel {2}}},&e\geq x\geq e^{2}\\1,&x\geq e^{2}\end{cases}}$

(c)

Note: $\mathbb {E} (ax^{2}+b)=a\mathbb {E} (x^{2})+b$

$\mathbb {E} (2X^{2}+5)=2\mathbb {E} (X^{2})+5=e^{2}\cdot (e^{2}-{\frac {1}{3}})+5\approx 57.14$