TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 11

Bei einer Prüfung wurden 10 Aufgaben gestellt und maximal 100 Punkte vergeben. In folgender Tabelle ist zu jeder Note die Punktezahl $p$ angegeben, die zum Erhalt dieser Note mindestens erreicht werden mußte.

Note	1.0	1.3	1.7	2.0	2.3	2.7	3.0	3.3	3.7	4.0	4.3	5
$p$	66	63	60	57	54	51	48	45	42	39	33	0

Folgende Punktezahlen wurden von den 20 Teilnehmern erreicht: 8, 16, 18, 22, 29, 32, 33, 33, 39, 42, 43, 46, 48, 50, 53, 64, 71, 79, 82, 89

a) Bestimmen Sie die durchschnittliche Punktezahl und die Durchschnittsnote.

b) Mit der Durchschnittsnote vergleiche man die Note, die man bei durchschnittlicher Punktezahl erhalten würde.

c) Man bestimme die Mediane der Noten- und Punkteverteilung.

d) Mit dem Median der Notenverteilung vergleiche man die Note, die man beim Median der Punkteverteilung erhalten wu ̈rde.

e) Man berechne das 20% gestutzte Mittel der Punktezahlen und vergleiche diesen Wert mit dem arithmetischen Mittel aus a).

f) Es sei $x_1,\dots ,x_n$ eine Meßreihe und $\overline{x}$ das zugehörige arithmetische Mittel. Zeigen Sie: Werden die Werte einer Meßreihe gemäß $y_i=a+b\cdot x_i$ mit $i=1,\dots ,n$ linear transformiert, so gilt für das arithmetische Mittel $\overline{y}$ der transformierten Werte $\overline{y}=a+b\cdot \overline{x}$.

g) Auf einer Touristeninsel in der Karibik wurden in den letzten beiden Juliwochen jeweils morgens zur gleichen Zeit die folgenden Lufttemperaturen in °Fahrenheit gemessen: 78, 82, 81, 82, 80, 83, 77, 81, 79, 79, 83, 78, 78, 79 Man berechne die Durchschnittstemperatur in °Fahrenheit und in °Celsius. (Hinweis: $x{[}^{\circ }F]$ entsprechen $y=\frac{5}{9}(x-32){[}^{\circ }C])$.

Hilfreiches

Arithmetisches Mittel

Arithmetisches Mittel

$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$

R code: mean(x) $n=20$

Lösung

Beispiel (a)

Durchschnittliche Punkteanzahl

$\begin{array}{cc}\overline{x}& =\frac{8+16+18+22+29+32+33+33+39+42+43+46+48+50+53+64+71+79+82+89}{20}\\ & =\frac{897}{20}=44.85\end{array}$

Durchschnittsnote

$\begin{array}{cc}\overline{y}& =\frac{6\cdot 5+2\cdot 4.3+4+2\cdot 3.7+3.3+2\cdot 3+2.7+1.3+4\cdot 1}{20}\\ & =\frac{67.3}{20}=3.365\end{array}$

Beispiel (b)

Durchschnittsnote: 3.365

Note bei durchschnittlicher Punktezahl (44.85): 3.7

Beispiel (c)

Median der Note: 3.7

Median der Punkte: 42.5

Beispiel (d)

Median der Note: 3.7

Note bei Median der Punkte (42.5): 3.7

Beispiel (e)

Es fallen die 4 schlechtesten und die 4 besten Werte weg: 8, 16, 18, 22, 71, 79, 82 und 89

$\begin{array}{cc}\overline{z}& =\frac{29+32+33+33+39+42+43+46+48+50+53+64}{12}\\ & =\frac{512}{12}=42.67\end{array}$

Beispiel (f)

$\begin{array}{cc}\overline{y}& =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{y}_i\\ & =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(a+b\cdot x_i)\\ & =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}a+\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}b\cdot x_i\\ & =a+\frac{b}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i\\ & =a+b\cdot \overline{x}\end{array}$

Beispiel (g)

Fahrenheit

$\begin{array}{cc}\overline{x}& =\frac{78+82+81+82+80+83+77+81+79+79+83+78+78+79}{14}\\ & =\frac{1120}{14}=80\end{array}$

Celsius

$\overline{y}=\frac{5}{9}(\overline{x}-32)=26.67$