TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 116

Bei der Produktion von Bolzen beträgt der Sollwert für den Durchmesser 10 mm. Es kann angenommen werden, dass der Duchmesser X normalverteilt ist mit dem unbekannten Erwartungswert µ und der durch die Technologie der Maschine festgelegten Standardabweichung $\sigma =0.5mm$. Zur Überprüfung der Einstellung werden 100 Teile entnommen und daraus der mittlere Durchmesser ${\bar {x}}=10.15mm$ berechnet.

a) Prüfen Sie auf dem Signifikanzniveau $\alpha =5\%$ die Hypothese H₀ : µ = 10 mm.
b) Bestimmen Sie die Gütefunktion G(µ) des Test in a) und stellen Sie diese in Abhängigkeit von µ grafisch dar. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, wenn mit dem mittleren Durchmesser von µ = 10:15 mm produziert wird?

c) Wie groß muss der Stichprobenumfang n mindestens sein, damit für den Test in a) bei gleicher Hypothese H₀ und gleichem $\alpha$für die Alternativhypothese H1 : µ = 10.15 mm die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art $\beta (10.15)$ höchstens 0.05 beträgt?

Lösung von Moritz.f

Nachdem ich heute an der Tafel gut geschwitzt hab, das Beispiel nicht wirklich zu können, hier die Nach-der-Übung-sind-wir-schlauer-Erklärung:

a)

${\begin{array}{l}H_{0}:\mu =10\\H_{1}:\mu \neq 10\Rightarrow 2-seitigerN-VerteilterTest\\Z={\frac {{\overline {x}}-\mu _{0}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}\\Z={\frac {10.15-10}{\frac {0.5}{\sqrt {100}}}}=3\\Z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}=1.96<3\Rightarrow H_{0}verworfen\\\end{array}}$

b)

Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art ist das Quantil einer anderen Verteilung mit Erwartungswert µ1 zwischen den kritischen Grenzen der Ursprungsverteilung µ0 (+/-1.96 in unserem Bsp):

$G(\mu )=1-\beta =1-P(|Y|\leq 1.96)$ wobei Y die Zufallsvariable ist, die nach $H_{1}:\mu =\mu _{1}$, $N(\mu _{1},{\frac {\sigma ^{2}}{n}})$ verteilt ist.

Jetzt setzt man diesen Erwartungswert von Y in die Formel für Z ein. Z ist daher so verteilt:
$Z\sim N({\frac {\mu _{1}-\mu _{0}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}},1)$
Um auf eine N(0,1) zu kommen, muss man also diesen Erwartungswert noch abziehen, um G(µ) auszurechnen:
${\begin{array}{lcl}G(\mu )&=&1-\beta \\&=&1-P(-1.96\leq Y\leq 1.96)\\&=&1-P(-1.96-{\frac {\mu _{1}-\mu _{0}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}\leq Z-{\frac {\mu _{1}-\mu _{0}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}\leq 1.96-{\frac {\mu _{1}-\mu _{0}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}})\\\end{array}}$

Daher ist die Gütefunktion nun: $G(\mu )=1-\Phi (1.96-{\frac {\mu _{1}-10}{\frac {0.5}{10}}})+\Phi (-1.96-{\frac {\mu _{1}-10}{\frac {0.5}{10}}})$
$G(10.15)=0.85$

c)

Jetzt ist der umgekehrte weg gefragt $G(\mu _{1}=10.15,n)=0.95$
$0.95=1-\Phi (1.96-{\frac {10.15-10}{\frac {0.5}{\sqrt {n}}}})+\Phi (-1.96-{\frac {10.15-10}{\frac {0.5}{\sqrt {n}}}})$
Der letzte Term wird mit 0 geschätzt, weil die Wahrscheinlichkeit für -1.96-irgendwas sehr klein ist! Daher: $0.05=\Phi ^{-1}(1.96-0.3*{\sqrt {n}})\Rightarrow n>145$ --Moritz.f 21:06, 4. Jun. 2009 (CEST)

Lösungsvorschlag von ParanoidAndroid

Beispiel 116 - Lösung deckt sich mit der von Moritz.f, die graphische Darstellung der Gütefunktion ist eventuell noch interessant.

Gütefunktion

$G(\mu )$

so hat das irgendwie ausgesehen. wurde vom prof. skizziert. erklären kann ich's nichtmehr, aber der florian vielleicht falls er sich erbarmt, der hat das beispiel heut gerechnet :)
-Thomarsch 16:43, 9. Jun. 2009 (CEST)