TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 121

Angabe

10 Versuchspersonen wurden vor und nach einem Trainingsprogramm einem bestimmten Test unterzogen. Man erhielt die folgenden Testergebnisse:

Person	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
vorher	102	104	105	97	98	108	105	99	101	100
nachher	112	103	103	114	115	102	108	113	105	111

Testen Sie unter der Voraussetzung, dass die Ergebnisse ungefähr normalverteilt sind, auf dem Signifikanzniveau $\alpha =0.05$, ob die Testleistungen vor und nach dem Trainingsprogramm nur zufällig voneinander abweichen.

Übungsmitschrift von Thomas

Es liegen zwei voneinander abhängige Stichproben vor. Die Werte vorher und nachher beziehen sich jeweils auf das selbe Objekt. Wir testen also das Mittel zweier Populationen dessen Stichprobenwerte zusammenhängen.

Skriptum: "Dann bildet man am besten Differenzen zwischen den zusammengehörigen Werten und testet auf Mittelwert gleich 0."

Nochmal die Aufgabe definieren: Wir haben zwei Populationen (bzw. Stichproben) die Normalverteilt sind

${\begin{array}{lcl}X_{i}\ ...\ {\text{vorher}}&X_{i}\sim N(\mu _{x},\sigma _{x}^{2})\\Y_{i}\ ...\ {\text{nachher}}&Y_{i}\sim N(\mu _{y},\sigma _{y}^{2})\end{array}}$

Wir betrachten aber die Differenz der zusammengehörigen Werte, also eine einzelne Stichprobe

$Z_{i}=X_{i}-Y_{i}\qquad Z_{i}\sim N(\mu _{z},\sigma _{z}^{2})$

wobei

$\mu _{z}=\mu _{x}-\mu _{y}\!\,$ (dürft ihr selber ausrechnen)

Unsere Hypothese soll nun $\mu$ auf 0 testen:

$H_{0}:\mu _{z}=0\!\,$

$H_{1}:\mu _{z}\neq 0\!\,$

da wir kein $\sigma$ haben, brauchen wir vorher den üblichen Schätzer dafür

$S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(Z_{i}-{\bar {Z}})^{2}=10$

$S={\sqrt {10}}$

Bei unbekanntem $\sigma$, wird das übliche $Z$ als Größe $T$ verstanden, die $t_{n-1}$ verteilt ist. Wir berechnen $T$ mit:

$T={\frac {{\bar {Z}}-\mu }{\frac {S}{\sqrt {n}}}}={\frac {2-0}{\frac {\sqrt {10}}{\sqrt {10}}}}=2$

Zur Konstruktion des Konfidenzintervalles für $\mu$ bei unbekanntem $\sigma$, verwenden wir nun das berechnete $T$ und das $\alpha$-Quantil der $t_{n-1}$-Verteilung $t_{n-1;\alpha }$.

$-t_{n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}}\leq T\leq t_{n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}}$

Schaun wir in der Tabelle also für $t_{10-1;{\frac {0.05}{2}}}=t_{9;0.025}$ nach, dann bekommen wir: $2.262$. Das Konfidenzintervall ist $(-2.262,2.262)\!\,$.

Offensichtlich trifft $-2.262\leq 2\leq 2.262$ zu.

Schlussfolgerung: Unser $T$ liegt im kritischen Bereich. Die Hypothese wird also nicht verworfen. Der Zusammenhang ist nur Zufällig.

Anmerkung zur Schlussf. von koDiacc: Der Kritische Bereich ist doch hier (-inf,-2.262) und (2.262,+inf) also die Zahl fällt NICHT in den kritischen bereich und wird somit beibehalten? Ich zitiere wikipedia: "Liegt tobs nicht in K, so wird H0 beibehalten." http://de.wikipedia.org/wiki/Hypothesentest#Die_formale_Vorgehensweise Zitat Skriptum: "Jene Werte, die zur Verwerfung der Hypothese führen, definieren den kritischen Bereich des Tests"

Anmerkungen

die rechnungen selber noch auzuschreiben nach der übung war mir jetzt zu mühsam, ich denk es ist klar genug, dass es jeder selber in die formeln einsetzen kann. macht man das, kann man das beispiel in der regel auch besser nachvollziehen.
-Thomarsch 14:42, 9. Jun. 2009 (CEST)