TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 124

Ein Zusatz im Kraftfutter für Hühner soll eine schnellere Gewichtszunahme bewirken. Zum Nachweis wurden 10 Hühner mit Kraftfutter ohne Zusatz (Gruppe I) und 10 weitere Hühner mit Kraftfutter mit Zusatz (Gruppe II) gefüttert und nach einer gewissen Zeit die Gewichtszunahme (in g) in beiden Gruppe festgestellt:

Gruppe I	102	104	105	97	98	108	105	99	101	100
Gruppe II	112	103	103	114	115	102	108	113	105	111

Unter der Annahme, dass Stichproben aus zwei normalverteilten Grundgesamtheiten mit gleicher Varianz vorliegen, ist zu untersuchen, ob durch Kraftfutter mit Zusatz im Mittel eine höhere Gewichtszunahme zu verzeichnen ist als durch Kraftfutter ohne Zusatz. Als Signifikanzniveau wird $\alpha =0.05$ vorgegeben.

Theorie

Es liegen hier zwei voneinander unabhängige Stichproben vor. Wir vergleichen also die Mittel zweier Populationen mit dem 2-Stichproben-t-test.

also $X_{1},...,X_{n1}$ und $Y_{1},...,X_{n2}$ mit Mittel $\mu _{x}$ und $\mu _{y}$ und die Entsprechenden Schätzer für Mittel und Varianzen.

Dann ist die Größe $T={\sqrt {\frac {n_{1}n_{2}(n_{1}+n_{2}-2)}{n_{1}+n_{2}}}}\cdot {\frac {{\bar {X}}-{\bar {Y}}}{\sqrt {(n_{1}-1)S_{x}^{2}+(n_{2}-1)S_{y}^{2}}}}$

t-verteilt mit $n_{1}+n_{2}-2$ Freiheitsgraden.

T wird als Teststatistik verwendet und der kritische Bereich ergibt sich beim einseitigen Test als:
$T>t_{n_{1}+n_{2}-2;1-\alpha }$

Lösung von Thomas

Bezeichnen wir, wie beim Beispiel im Skriptum (SS09 5.14 S.88), Gruppe I mit $X$ und Gruppe II mit $Y$.

Dann schreiben wir die Null-Hypothese als:

$H_{0}:\ \mu _{x}=\mu _{y}\$ zu Deutsch: $Y$ ist nicht Signifikant besser als $X$.

und alternativ

$H_{1}:\ \mu _{x}<\mu _{y}$

Vorgegebene Werte:

$n_{x}=10,\quad n_{y}=10$ und das Signifikanzniveau $\alpha =0.05\!\,$

Mal die Werte berechnen die wir für die Formel für $T$ brauchen:

${\bar {x}}=101.9,\quad s_{x}^{2}=12.544$

${\bar {y}}=108.6,\quad s_{y}^{2}=25.155$

jetzt einsetzen (mühsam! geht auch leicht in R mit dem befehl t.test(x,y), wenn man sich die werte des beispiels in die variablen x und y lädt)

${\begin{array}{lcl}T&=&{\sqrt {\frac {10*10(10+10-2)}{10+10}}}\cdot {\frac {101.9-108.6}{\sqrt {(10-1)*12.544+(10-1)*25.155}}}\\\\&=&3{\sqrt {10}}\cdot -0.363738\\\\&=&-3.45072\end{array}}$

der kritische Bereich ist

$t_{n_{1}+n_{2}-2;\alpha }=t_{18;0.05}=-t_{18;0.95}=-1.734$

(in der Tabelle für die Student-t-Verteiltung nachsehen. Nicht verwirren lassen, das sind Rechte Quantile, wir rechnen mit Linken Quantilen (graphisch überlegen), deshalb haben wir dann einen negativen Wert)

na gut und jetzt sehen wir, dass

$-3.45072<-1.734\!\,$

$T$ fällt also in den kritischen Bereich, deshalb wird die Null-Hypothese verworfen.

Die Hypothese war, dass $\mu _{x}=\mu _{y}$, also dass $Y$ nicht signifikant größer ist als $X$.

Diese wird verworfen, dh. $Y$ ist doch signifikant größer als $X$. Das Kraftfutter mit Zusatz macht die Hühner also fetter. genau.

Anmerkungen

hab das beispiel heute vorgerechnet, passt also! -Thomarsch 12:44, 9. Jun. 2009 (CEST)