TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 24

Gegeben sei eine Meßreihe $x_{1},\cdots ,x_{n}$. Die Funktion $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ sei definiert durch:

$g(x)=\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-x\right|$.

Zeigen Sie: $g$ hat an der Stelle $x={\tilde {x}}$ ein absolutes Minimum.

Lösungsvorschlag von Juggl3r

Bei dem Beispiel muss man etwas wichtiges beachten: Die gegebene Funktion ist nicht differenzierbar. Deshalb können wir auch nicht einfach die Ableitung gleich 0 setzen. (außerdem wäre bei unserer Funktion ja die höchste Potzen $x^{1}$, also wir hätten eine Gerade und wenn wir das Minimum einer Gerade ausrechnen wollen, sollte uns das schon nachdenklich machen).

Der richtige Beweis funktioniert, indem wir zuerst die Funktion mit dem Median als x ausrechnen und anschließend setzen wir für x den Median+c für ein postives c ein. Anschließend zerlegen wir die Summe in 3 Fälle (ein Fall von vorher zerteilt sich nochmal in 2 Fälle). Dann können wir feststellen, dass in 2 von den 3 Fällen +c gerechnet wird und in einem -c. Die Anzahl, wie oft -c gerechnet wird, ist aber kleiner als die Anzahl, wieoft +c gerechnet wird (weil wir mit dem Median rechnen, womit die Anzahl der Summanden in Fall 1 und Fall2 (Fall2 zerteilt sich nochmal in a) und b)) gleich ist. Da wir öfter +c als -c rechnen, ist das Ergebnis natürlich größer. D.h. für positive c erhalten wir größere Ergebnisse. Jetzt müssen wir noch zeigen, dass selbiges für negative c gilt. Hier zerlegt sich der erste Fall in a) und b) und der Rest verläuft analog. Es wird öfter +c gerechnet als -c, somit bildet der Median ein Minimum.

FALSCHE Lösung

Bei dieser Funktion muss man 3 Fälle unterscheiden, um den Betrag aufzulösen:

$g(x)={\begin{cases}\sum _{i=1}^{n}\left(x-x_{i}\right)&x_{i}<x\\0&x_{i}=x\\\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-x\right)&x_{i}>x\end{cases}}$

Die Summe kann man nun in zwei Teile trennen:

${\begin{aligned}g(x)&=\underbrace {\sum _{i=1}^{k}\left(x-x_{i}\right)} _{x_{i}<x}+\underbrace {\sum _{i=k+1}^{n}\left(x_{i}-x\right)} _{x_{i}>x}\\&=\sum _{i=1}^{k}x-\sum _{i=1}^{k}x_{i}+\sum _{i=k+1}^{n}x_{i}-\sum _{i=k+1}^{n}x\\&=k\cdot x-(n-k)\cdot x-\sum _{i=1}^{k}x_{i}+\sum _{i=k+1}^{n}x_{i}\\&=(2k-n)\cdot x-\sum _{i=1}^{k}x_{i}+\sum _{i=k+1}^{n}x_{i}\\\end{aligned}}$

Um das Minimum zu bestimmen wird die Ableitung Null gesetzt:

${\begin{aligned}g'(x)&=2k-n\\0&=2k-n\\n&=2k\\k&={\frac {n}{2}}\end{aligned}}$

${\frac {n}{2}}$ entspricht dem Median ${\tilde {x}}$.

Beim Fall $x_{i}=x$ ist der Wert der Funktion ja 0 und kleiner als 0 kann ein Betrag nicht werden, weshalb es dort eine Minimum sein muss.