TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 32

Bei einer Befragung unter den Studenten einer Universität bezeichne A das zufällige Ereignis, daß ein zufällig ausgewählter Student mindestens eine Umweltvorlesung besucht, und B sei das Ereignis, daß ein zufällig ausgewählter Student mindestens einen Sprachkurs belegt. Dabei seien (angenommene Werte) P(A) = 0,3, P(B) = 0,5, P(A ∩ B) = 0,1. Man berechne P(A ∪ B), P$({\overline {A}})$, P$({\overline {B}})$, P(A ∩ ${\overline {B}})$, P(${\overline {A}}$ ∩ B), P$({\overline {A}}$ ∩ ${\overline {B}})$, P(${\overline {A}}$∪${\overline {B}})$ und beschreibe alle vorkommenden Ereignisse in Worten.

Regeln

• Allgemeiner Additionssatz: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
• Für $A\cap {\overline {B}}=A-B$ ("A ohne B") gilt $P(A\cap {\overline {B}})=P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)$
• De Morgan: ${\overline {A}}\cap {\overline {B}}\equiv {\overline {A\cup B}}$

Lösungsvorschlag

Ein Student besucht ...

1. eine Umweltvorlesung oder einen Sprachkurs
2. keine Umweltvorlesung
3. keinen Sprachkurs
4. keine Umweltvorlesung aber einen Sprachkurs
5. keinen Sprachkurs aber eine Umweltvorlesung
6. weder eine Umweltvorlesung noch einen Sprachkurs (keine Umweltvorlesung und keinen Sprachkurs)
7. keine Umweltvorlesung oder keinen Sprachkurs

1. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0.7$
2. $P({\overline {A}})=1-P(A)=0.7$
3. $P({\overline {B}})=0.5$
4. $P({\overline {A}}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)=0.4$
5. $P(A\cap {\overline {B}})=0.2$
6. $P({\overline {A}}\cap {\overline {B}})=P({\overline {A\cup B}})=1-P(A\cup B)=0.3$
7. $P({\overline {A}}\cup {\overline {B}})=0.9$