TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 39

Beim Kartenpoker mit 52 Karten werden an die Spieler jeweils fünf Karten verteilt. Es gibt dabei folgende Gewinnmöglichkeiten:

Royal Straight: Straight Flush in Herz mit den höchsten Kartenwerten, also Herz–As, Herz–König, Herz–Dame, Herz–Bube und Herz–Zehn.

Straight Flush: ein Straight, bei dem alle Karten von einer Farbe sind;

Four of a Kind: ("Poker") genau 4 gleiche Kartenwerte (z.B. Herz–Acht, Karo–Acht, Treff–Acht und Pik–Acht sowie Karo–Dame);

Full House: 2 gleiche und 3 gleiche Kartenwerte (z.B. Karo–As und Herz–As sowie Herz– Neun, Treff–Neun und Pik–Neun);

Flush: alle 5 Karten sind von einer Spielfarbe;

Berechnen Sie die einzelnen Gewinnwahrscheinlichkeiten.

Lösungsvorschlag

Anzahl der Möglichkeiten (5 aus 52 Karten): ${{52} \choose {5}}=2598960$

Royal Straight

Es gibt nur eine einzige Möglichkeit für Royal Straight:

$P={\frac {1}{2598960}}=0.000000385$

Straight Flush

Es gibt 4 Farben und pro Farbe gibt es 10 Möglichkeiten für ein Straight Flush ($\{A,2,3,4,5\};\{2,3,4,5,6\};\dots ;\{10,B,D,K,A\}$) Royal Straight ist auch un Straight Flush und gehört daher noch abgezogen:

$P={\frac {4\cdot 10-1}{2598960}}=0.000015006$

Four of a Kind

Es gibt 13 unterschiedliche Möglichkeiten für 4 gleiche Karten ($2,3,\dots ,D,K,A$). Da wir bis jetzt nur 4 Karten haben, bleiben noch 48 für die fünfte Karte übrig:

$P={\frac {13\cdot 48}{2598960}}=0.000240096$

Full House

Es gibt wieder 13 unterschiedliche Karten für die 3 Karten. Zusätzlich gibt es $4 \choose 3$ Möglichkeiten für Farben. Für die restlichen 2 Karten bleiben noch 12 unterschiedliche Motive mit $4 \choose 2$ möglichen Farben übrig:

$P={\frac {13\cdot {4 \choose 3}\cdot 12\cdot {4 \choose 2}}{2598960}}=0.001440576$

Flush

Pro Farbe können wir 5 aus den 13 unterschiedlichen Karten bekommen. Die Straigts müssen aber noch abgezogen werden:

$P={\frac {4\cdot {13 \choose 5}-4\cdot 10}{2598960}}=0.001965402$

Lösung von ParanoidAndroid

stat3.pdf