TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 50

Angabe

In einer Urne befinden sich 5 schwarze, 3 grüne, und 2 weiße Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, bei "rein zufülligem" zweimaligem Ziehen ohne Zurücklegen im zweiten Zug eine weiße Kugel zu ziehen, wenn im ersten Zug

• a) eine weiße Kugel
• b) eine schwarze oder weiße Kugel

gezogen wurde?

UE-Mitschrift von Thomarsch

Ereignisse definieren:
$\mathbf {} S_{1}$ - Beim ersten Zug wird eine schwarze Kugel gezogen
$\mathbf {} W_{1}$ - Beim ersten Zug wird eine weiße Kugel gezogen
$\mathbf {} W_{2}$ - Beim zweiten Zug wird eine weiße Kugel gezogen

${\begin{aligned}&P(S_{1})={\frac {5}{10}}={\frac {1}{2}}\\&P(W_{1})={\frac {2}{10}}={\frac {1}{5}}\\\end{aligned}}$

a)

$P(W_{2})={\frac {1}{9}}$ eine von zwei weißen Kugeln wurde bereits gezogen, man kann nur mehr aus 9 Kugeln wählen
$P(W_{2}\mid W_{1})={\frac {P(W_{1}\cap W_{2})}{P(W_{1})}}={\frac {{\frac {1}{5}}\cdot {\frac {1}{9}}}{\frac {1}{5}}}={\frac {1}{9}}$

b)

• nach $S_{1}$: $P(W_{2})={\frac {2}{9}}$ man kann noch beide weißen Kugeln aus den übrigen 9 ziehen
• nach $W_{1}$: $P(W_{2})={\frac {1}{9}}$ wie bei a)

$P(W_{2}\mid (S_{1}\cup W_{1}))={\frac {P((S_{1}\cup W_{1})\cap W_{2})}{P(S_{1}\cup W_{1})}}={\frac {P((S_{1}\cap W_{2})\cup (W_{1}\cap W_{2}))}{P(S_{1}\cup W_{1})}}={\frac {{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2}{9}}+{\frac {1}{5}}\cdot {\frac {1}{9}}}{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}}}={\frac {4}{21}}\approx 0.19$

Anmerkung

Die Ergebnisse stimmen, den Lösungsweg kann ich nicht ganz nachvollziehen. Wenn das jem. erklären und hinzufügen könnte :) --Thomarsch 18:40, 21. Apr. 2009 (CEST)

Hab noch eine kurze Beschreibung hinzugefügt und ein paar Sachen verändert --Angela 17:00, 31. März 2011 (CEST)

Das Ergebnis ist zwar richtig, aber der Formalismus falsch. Es wird bei a) verwendet, dass P(w1^w2)=P(w1)*P(w2) ist, das ist aber nur bei unabhängigen Ereignissen der Fall. Richtigerweise müsste man hier genau andersrum argumentieren, nämlich ist P(W2|W1) von vorneherein bekannt. Dagegen ist P(W2), also die unbedingte Wahrscheinlichkeit größer als 1/9, da im unbedingten Fall ja nicht sicher ist, welche Farbe im ersten Zug gezogen wurde. --fw.

Lösung von ParanoidAndroid

stat4_50.pdf