TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 74

Eine Zufallsgröße heißt stetig gleichmäßig verteilt (oder rechtecksverteilt) über $[a,b],a<b$, falls ihre Dichte $f$ gegeben ist durch

$f(x)={\begin{cases}0&x<a\\{\frac {1}{b-a}}&a\leq x<b\\0&x>b\end{cases}}$

• a) Stellen Sie die Dichtefunktion grafisch dar und berechnen Sie die zugehörige Verteilungsfunktion F.
• b) Berechnen Sie den Erwartungswert von $X$
• c) Berechnen Sie die Varianz von $X$

Lösungsvorschlag

a

Stammfunktion:

$F(t)=\int f(t)\,dt=\int {\frac {1}{b-a}}\,dt={\frac {t}{b-a}}+C$

Verteilungsfunktion

$F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt$

da für $x<a,F(x)=0$ gilt , rechnen wir

${\begin{aligned}F(x)&=\int _{a}^{x}f(t)\,dt=\left.F(t)\right|_{a}^{x}=F(x)-F(a)\\&={\frac {x}{b-a}}-{\frac {a}{b-a}}={\frac {a-x}{a-b}}\end{aligned}}$

schlussendlich gilt

$F(x)={\begin{cases}0&x<a\\{\frac {a-x}{a-b}}&a\leq x<b\\1&x>b\end{cases}}$

b

Erwartungswert oder Mittlwert (siehe Skriptum 4.4.5 Erwartung, da ist es sogar für die Rechtecksverteilung $R(a,b)$ ausgerechnet).

$\mu =E(X)=\int xf(x)\,dx$

$E(X)=\int _{a}^{b}{\frac {x}{b-a}}\,dx={\frac {a+b}{2}}$

c

Varianz generell:

$\sigma ^{2}=Var(X)=(E((X)^{2}))-(E(X))^{2}=EX^{2}-\mu ^{2}$

In unserem Fall:

$EX^{2}=\int _{a}^{b}x^{2}{\frac {1}{b-a}}\,dx={\frac {b^{2}+ab+a^{2}}{3}}$

${\begin{aligned}\sigma ^{2}&=Var(X)\\&=EX^{2}-\mu ^{2}\\&={\frac {b^{2}+ab+a^{2}}{3}}-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}\\&={\frac {(b-a)^{2}}{12}}\end{aligned}}$

Anmerkung

Bei $EX^{2}$ hat mich die Notation etwas irritiert, aber es gilt allgemein:

$E[h(X)]=\int _{-\infty }^{\infty }h(x)f(x)\,dx$

Bei $EX^{2}=E(X)^{2}=E((X)^{2})$ ist also $h(X)=X^{2}$

daher ergibt sich durch einsetzen

$\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f(x)\,dx$

Lösung von ParanoidAndroid

Beispiel 74