TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 75

Angabe

Ein begeisteter Fußballfan gibt jede Woche Tototips ab, wobei er die Ziffern 0 (Unentschieden), 1 (Heimsieg), 2 (Auswärtssieg) unter Zuhilfenahme der Wahrscheinlichkeitsfunktion

$P(X=k)={\begin{cases}{\frac {1}{4}}+ak+bk^{2}&k=0,1,2\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}$

verteilt. Die Größen $a$ und $b$ hält er geheim. Es ist aber bekannt, dass für seine Tips außerdem $P(X=1)={\frac {1}{2}}$ gilt. Bestimmen Sie $a$ und $b$ sowie die zugehörige Verteilungsfunktion.

Lösungsvorschlag

Aus $k=0$ folgt $P(X=0)={\frac {1}{4}}$ und weiters $P(X=2)={\frac {1}{4}}$.

Dann hat man

$P(X=1)={\frac {1}{4}}+a+b={\frac {1}{2}}$

$P(X=2)={\frac {1}{4}}+2a+4b={\frac {1}{4}}$

$=>a={\frac {1}{2}}$ und $b=-{\frac {1}{4}}$

Die Verteilungsfunktion lautet

$F(x)=\sum _{i\leq x}P(X=i)={\begin{cases}{\frac {1}{4}}&{\text{für}}\ \ x\leq 0\\{\frac {3}{4}}&{\text{für}}\ \ x=1\\1&{\text{für}}\ \ x\geq 2\end{cases}}$

Lösung von ParanoidAndroid

Beispiel 75