TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 94

Angabe

Die zufällige Variable $(X,Y)$ habe die Dichtefunktion

$f(x,y)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}(1+xy(x^{2}-y^{2}))&-1\leq x\leq y\leq 1\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}$

Bestimmen Sie die Dichtefunktion der Randverteilung von X und Y.

Lösungsvorschlag von Thomas

Dichtefunktionen der Randverteilung bei Stetigkeit für X:

$f_{X}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy$

analog für Y

habs nach dem beispiel im buch gelöst:

$f_{X}(x)=\int _{x}^{1}{\frac {1}{2}}(1+xy(x^{2}-y^{2}))\ dy=-{\frac {x^{5}}{8}}+{\frac {x^{3}}{4}}-{\frac {5x}{8}}+{\frac {1}{2}}$

$f_{Y}(y)=\int _{-1}^{y}{\frac {1}{2}}(1+xy(x^{2}-y^{2}))\ dx={\frac {y}{2}}-{\frac {y^{5}}{8}}$

Anmerkungen

bei den integralen hat mir WolframAlpha geholfen

• integral_x^1 1/2 (1+x y (x^2-y^2)) dy
• integral_-1^y 1/2 (1+x y (x^2-y^2)) dx

Lösungsvorschlag von bigschnozer

Formeln für Dichtefunktionen der Randverteilung:

Wir wissen die Dichtefunktionen der Randverteilung $f_{X}$und $f_{Y}$können wie folgt bestimmt werden:

$f_{X}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy$

$f_{Y}(y)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)dx$

Da $-1<=x,y<=1$ können wir unsere Grenzen entsprechend einsetzen (Skriptum S.68):

$f_{X}(x)=\int _{x}^{1}f(x,y)dy$

$f_{Y}(y)=\int _{-1}^{y}f(x,y)dx$

Unbestimmte Integrale:

Wir bestimmen allgemein das Integral nach $dx$ und $dy$:

$\int f(x,y)dy=\int {\frac {1}{2}}(1+x^{3}y-xy^{3})dy={\frac {1}{2}}(y+{\frac {x^{3}y^{2}}{2}}-{\frac {xy^{4}}{4}})$

$\int f(x,y)dx=\int {\frac {1}{2}}(1+x^{3}y-xy^{3})dx={\frac {1}{2}}(x+{\frac {x^{4}y}{4}}-{\frac {x^{2}y^{3}}{2}})$

Dichtefunktionen (bestimmte Integrale):

Wir bestimmen $f_{X}$ indem wir das bestimmte Integral $\int _{x}^{1}$nach $dy$ lösen:

$f_{X}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy=\int _{x}^{1}f(x,y)dy=\int _{x}^{1}{\frac {1}{2}}[1+xy(x^{2}-y^{2})]dy$

$f_{X}(x)={\frac {1}{2}}\int _{x}^{1}1+x^{3}y-xy^{3}dy={\frac {1}{2}}(1-{\frac {5x}{4}}+{\frac {x^{3}}{2}}-{\frac {x^{5}}{4}})={\frac {1}{8}}(4-5x+2x^{3}-x^{5})$

Wir bestimmen $f_{Y}$ indem wir das bestimmte Integral $\int _{-1}^{y}$ nach $dx$ lösen:

$f_{Y}(y)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)dx=\int _{-1}^{y}f(x,y)dx=\int _{-1}^{y}{\frac {1}{2}}[1+xy(x^{2}-y^{2})]dx={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{y}1+x^{3}y-xy^{3}dx$

$f_{Y}(y)={\frac {1}{2}}(1-{\frac {y^{5}}{4}}+{\frac {y^{3}}{2}}+{\frac {3y}{4}})={\frac {1}{8}}(-y^{5}+2y^{3}+3y+4)$