TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 11

Bei einer Prüfung wurden 10 Aufgaben gestellt und maximal 100 Punkte vergeben. In folgender Tabelle ist zu jeder Note die Punktezahl $p$ angegeben, die zum Erhalt dieser Note mindestens erreicht werden mußte.

Note	1.0	1.3	1.7	2.0	2.3	2.7	3.0	3.3	3.7	4.0	4.3	5
$p$	66	63	60	57	54	51	48	45	42	39	33	0

Folgende Punktezahlen wurden von den 20 Teilnehmern erreicht: 8, 16, 18, 22, 29, 32, 33, 33, 39, 42, 43, 46, 48, 50, 53, 64, 71, 79, 82, 89

a) Bestimmen Sie die durchschnittliche Punktezahl und die Durchschnittsnote.

b) Mit der Durchschnittsnote vergleiche man die Note, die man bei durchschnittlicher Punktezahl erhalten würde.

c) Man bestimme die Mediane der Noten- und Punkteverteilung.

d) Mit dem Median der Notenverteilung vergleiche man die Note, die man beim Median der Punkteverteilung erhalten wu ̈rde.

e) Man berechne das 20% gestutzte Mittel der Punktezahlen und vergleiche diesen Wert mit dem arithmetischen Mittel aus a).

f) Es sei $x_{1},\dots ,x_{n}$ eine Meßreihe und ${\bar {x}}$ das zugehörige arithmetische Mittel. Zeigen Sie: Werden die Werte einer Meßreihe gemäß $y_{i}=a+b\cdot x_{i}$ mit $i=1,\dots ,n$ linear transformiert, so gilt für das arithmetische Mittel ${\bar {y}}$ der transformierten Werte ${\bar {y}}=a+b\cdot {\bar {x}}$.

g) Auf einer Touristeninsel in der Karibik wurden in den letzten beiden Juliwochen jeweils morgens zur gleichen Zeit die folgenden Lufttemperaturen in °Fahrenheit gemessen: 78, 82, 81, 82, 80, 83, 77, 81, 79, 79, 83, 78, 78, 79 Man berechne die Durchschnittstemperatur in °Fahrenheit und in °Celsius. (Hinweis: $x[^{\circ }F]$ entsprechen $y={\frac {5}{9}}(x-32)[^{\circ }C])$.

Hilfreiches

Arithmetisches Mittel

Arithmetisches Mittel

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$

R code: mean(x) $\mathbf {} n=20$

Lösung

Beispiel (a)

Durchschnittliche Punkteanzahl

${\begin{aligned}{\bar {x}}&={\frac {8+16+18+22+29+32+33+33+39+42+43+46+48+50+53+64+71+79+82+89}{20}}\\&={\frac {897}{20}}=44.85\end{aligned}}$

Durchschnittsnote

${\begin{aligned}{\bar {y}}&={\frac {6\cdot 5+2\cdot 4.3+4+2\cdot 3.7+3.3+2\cdot 3+2.7+1.3+4\cdot 1}{20}}\\&={\frac {67.3}{20}}=3.365\end{aligned}}$

Beispiel (b)

Durchschnittsnote: 3.365

Note bei durchschnittlicher Punktezahl (44.85): 3.7

Beispiel (c)

Median der Note: 3.7

Median der Punkte: 42.5

Beispiel (d)

Median der Note: 3.7

Note bei Median der Punkte (42.5): 3.7

Beispiel (e)

Es fallen die 4 schlechtesten und die 4 besten Werte weg: 8, 16, 18, 22, 71, 79, 82 und 89

${\begin{aligned}{\bar {z}}&={\frac {29+32+33+33+39+42+43+46+48+50+53+64}{12}}\\&={\frac {512}{12}}=42.67\end{aligned}}$

Beispiel (f)

${\begin{aligned}{\bar {y}}&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(a+b\cdot x_{i})\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}b\cdot x_{i}\\&=a+{\frac {b}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\\&=a+b\cdot {\bar {x}}\end{aligned}}$

Beispiel (g)

Fahrenheit

${\begin{aligned}{\bar {x}}&={\frac {78+82+81+82+80+83+77+81+79+79+83+78+78+79}{14}}\\&={\frac {1120}{14}}=80\end{aligned}}$

Celsius

${\bar {y}}={\frac {5}{9}}({\bar {x}}-32)=26.67$