TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 67

Ein Test besteht aus 12 Fragen, wobei jeweils drei Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine richtig ist, gegeben sind. Falls 10 Fragen richtig beantwortet werden, ist die Klausur bestanden. Ein Student kommt nun unvorbereitet zu diesem Test und kreuzt zufällig jeweils eine der drei Antwortmöglichkeiten an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er den Test besteht?

Hilfreiches

Binomialverteilung

Binomialverteilung

$P(E_{i})={n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}$

Lösung

Die Angabe verwirrt etwas, aber wir suchen nur wieder die Anzahl der 'guten' Versuchsausgänge mittels Binomialverteilung.

Werte nach Notation im Skriptum:

$p$ gut $={\frac {1}{3}}$
$1-p$ schlecht $={\frac {2}{3}}$
$n=12$

Wir interessieren uns für $P(X\geq 10)=P(E_{12})+P(E_{11})+P(E_{10})$.

Also entweder, 12, 11 oder 10 Fragen richtig.

$P(E_{12})={\tbinom {12}{12}}*{\frac {1}{3}}^{12}*{\frac {2}{3}}^{0}$

$P(E_{11})={\tbinom {12}{11}}*{\frac {1}{3}}^{11}*{\frac {2}{3}}^{1}$

$P(E_{10})={\tbinom {12}{10}}*{\frac {1}{3}}^{10}*{\frac {2}{3}}^{2}$

$P(X\geq 10)=P(E_{12})+P(E_{11})+P(E_{10})=0.000543804\approx 0.05\%$

Lösung von ParanoidAndroid

Beispiel 67