TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 116

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Bei der Produktion von Bolzen beträgt der Sollwert für den Durchmesser 10 mm. Es kann angenommen werden, dass der Duchmesser X normalverteilt ist mit dem unbekannten Erwartungswert µ und der durch die Technologie der Maschine festgelegten Standardabweichung . Zur Überprüfung der Einstellung werden 100 Teile entnommen und daraus der mittlere Durchmesser berechnet.

a) Prüfen Sie auf dem Signifikanzniveau die Hypothese H0 : µ = 10 mm.
b) Bestimmen Sie die Gütefunktion G(µ) des Test in a) und stellen Sie diese in Abhängigkeit von µ grafisch dar. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, wenn mit dem mittleren Durchmesser von µ = 10:15 mm produziert wird?

c) Wie groß muss der Stichprobenumfang n mindestens sein, damit für den Test in a) bei gleicher Hypothese H0 und gleichem für die Alternativhypothese H1 : µ = 10.15 mm die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art höchstens 0.05 beträgt?

Lösung von Moritz.f[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nachdem ich heute an der Tafel gut geschwitzt hab, das Beispiel nicht wirklich zu können, hier die Nach-der-Übung-sind-wir-schlauer-Erklärung:

a)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

b)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art ist das Quantil einer anderen Verteilung mit Erwartungswert µ1 zwischen den kritischen Grenzen der Ursprungsverteilung µ0 (+/-1.96 in unserem Bsp):

wobei Y die Zufallsvariable ist, die nach , verteilt ist.

Jetzt setzt man diesen Erwartungswert von Y in die Formel für Z ein. Z ist daher so verteilt:

Um auf eine N(0,1) zu kommen, muss man also diesen Erwartungswert noch abziehen, um G(µ) auszurechnen:

Daher ist die Gütefunktion nun:

c)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jetzt ist der umgekehrte weg gefragt

Der letzte Term wird mit 0 geschätzt, weil die Wahrscheinlichkeit für -1.96-irgendwas sehr klein ist! Daher: --Moritz.f 21:06, 4. Jun. 2009 (CEST)

Lösungsvorschlag von ParanoidAndroid[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel 116 - Lösung deckt sich mit der von Moritz.f, die graphische Darstellung der Gütefunktion ist eventuell noch interessant.

Gütefunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

so hat das irgendwie ausgesehen. wurde vom prof. skizziert. erklären kann ich's nichtmehr, aber der florian vielleicht falls er sich erbarmt, der hat das beispiel heut gerechnet :)
-Thomarsch 16:43, 9. Jun. 2009 (CEST)