TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS11/Beispiel 122

Es liegen die Geburtsgewichte (in g) von 8 Zwillingsgeburten vor:

Paar Nr. i	1	2	3	4	5	6	7	8
xi (Erstgeborener)	3250	2800	3400	3600	3140	2700	3000	2850
yi (Zweitgeborener)	3100	2850	3200	3500	3350	2550	3250	2700

Es soll geprüft werden, ob sich die Geburtsgewichte von Erst- und Zweitgeborenen bei den Zwillingen im Mittel signifikant unterscheiden (α=5%). Dabei kann von Normalverteilung ausgegangen werden.

Hilfreiches

Varianz

Varianz

seien $x_{i}-{\bar {x}}$ die Abweichung vom Mittelwert, so sei die Varianz $s^{2}$ definiert als:

$s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$

R code: var(x)

Lösungsvorschlag

Ortsparameter (mit R berechnet):

${\bar {x}}=3092,5$, $\;s_{x}^{2}=98021,43$

${\bar {y}}=3062,5$, $\;s_{y}^{2}=109821,4$

Lt. Scriptum, Kap. 5.7.1 (i) ist dieses Problem als Vergleich von zwei paarweise abhängigen Populationen einzustufen, d.h. man kann gleichzeitig die Varianz minimieren und das Problem vereinfachen, indem man nur mit der paarweisen Differenz der Populationen rechnet: $D_{i}=x_{i}-y_{i}\;\forall i$.

Nullhypothese: $H_{0}:\;\mu _{x}=\mu _{y}$ bzw. $\mu _{D}=0$

${\bar {D}}={\frac {1}{n}}\sum (x_{i}-y_{i})\equiv {\bar {x}}-{\bar {y}}=30$

$s_{D}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum (x_{i}-y_{i}-{\bar {D}})^{2}=31343,16$

$T={\frac {\bar {D}}{{\sqrt {s_{D}^{2}}}/{\sqrt {n}}}}=0,479$

Die Grenzen des kritischen Bereichs sind $t_{n-1,(\alpha /2)}=\pm 2,365$ (die t-Verteilung ist ja symmetrisch).

$T$ liegt dazwischen (nicht im kritischen Bereich), daher kann $H_{0}$ nicht verworfen werden.

--Baccus 03:18, 9. Jun. 2011 (CEST)

Links

• (fast richtige) Lösung von ParanoidAndroid aus 2009
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