TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS11/Beispiel 66

Es sei X eine poissonverteilte Zufallsgröße mit dem Parameter $\lambda =4$. Man ermittle die Wahrscheinlichkeiten bzw. bedingten Wahrscheinlichkeiten

• a) $P(X=0)$
• b) $P(X<4)$
• c) $P(X=4)$
• d) $P(X>4)$
• e) $P(X>3\,|\,X>0)$

Hilfreiches

Poissonverteilung

Poissonverteilung

"Verteilung der seltenen Ereignisse".

Sie nähert, wenn ein großes $n$ und ein kleines $p$ vorliegt, die Binomialverteilung sehr gut an. (Faustregel: $p<.1$ und $n>50$.) In diesem Fall ist $\lambda =n\cdot p$.

${\begin{aligned}\lambda =&g\cdot w\quad \ldots \ {\text{“Parameter” der Verteilung, glz. auch Erwartungswert und Varianz}}\\&g\ldots \ {\text{Ereignisrate}}\\&w\ldots \ {\text{Beobachtungsintervall}}\\\end{aligned}}$

$W(\{i\})={\dfrac {\lambda ^{i}\cdot e^{-\lambda }}{i!}}$

(anm.: in der VO wird $\mu$ statt $\lambda$ verwendet.)

Wikipedia

Lösung

a)

${\begin{aligned}P(X=0)&=1\cdot e^{-4}\\&\approx 0.0183\end{aligned}}$

b)

${\begin{aligned}P(X<4)&=P(X\leq 3)\\&=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)\\&=\sum _{k=0}^{3}{\frac {4^{k}}{k!}}e^{-4}\\&\approx 43,35\%\end{aligned}}$

c)

${\begin{aligned}P(X=4)&={\frac {4^{4}}{4!}}e^{-4}\\&\approx 19,54\%\end{aligned}}$

d)

$P(X>4)=1-P(X=4)-P(X<4)\approx 37,12\%$

e)

$P(X>3|X>0)=$

Bin mir nicht sicher aber ich hab es so gerechnet: $={\frac {P(X>3\cap X>0)}{P(X>0)}}={\frac {P(X>3)}{P(X>0)}}\approx 0.5771$

Ergänzung

Passt denke ich, denn es gilt

$P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$

und bei

${\begin{aligned}A=X>3=\{X=3,X=4,...,X=n\}\\B=X>0=\{X=0,X=1,...,X=n\}\end{aligned}}$

gilt offensichtlich

$A\cap B=A$

daher muss

$P(X>3|X>0)={\frac {P(X>3)}{P(X>0)}}$

stimmen. --Thrau (Diskussion) 20:50, 3. Okt. 2013 (CEST)