TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS11/Beispiel 66

Es sei X eine poissonverteilte Zufallsgröße mit dem Parameter $\lambda =4$. Man ermittle die Wahrscheinlichkeiten bzw. bedingten Wahrscheinlichkeiten

• a) $P(X=0)$
• b) $P(X<4)$
• c) $P(X=4)$
• d) $P(X>4)$
• e) $P(X>3|X>0)$

Hilfreiches

Poissonverteilung

Poissonverteilung

"Verteilung der seltenen Ereignisse".

Sie nähert, wenn ein großes $n$ und ein kleines $p$ vorliegt, die Binomialverteilung sehr gut an. (Faustregel: $p<.1$ und $n>50$.) In diesem Fall ist $\lambda =n\cdot p$.

$\begin{array}{cc}\lambda =& g\cdot w\dots \text{“Parameter” der Verteilung, glz. auch Erwartungswert und Varianz}\\ & g\dots \text{Ereignisrate}\\ & w\dots \text{Beobachtungsintervall}\\ \end{array}$

$W(\{i\})=\frac{{\lambda }^i\cdot e^{-\lambda }}{i!}$

(anm.: in der VO wird $\mu$ statt $\lambda$ verwendet.)

Wikipedia

Lösung

a)

$\begin{array}{cc}P(X=0)& =1\cdot e^{-4}\\ & \approx 0.0183\end{array}$

b)

$\begin{array}{cc}P(X<4)& =P(X\le 3)\\ & =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)\\ & =\sum _{k=0}^3\frac{4^k}{k!}{e}^{-4}\\ & \approx 43,35\mathrm{\%}\end{array}$

c)

$\begin{array}{cc}P(X=4)& =\frac{4^4}{4!}{e}^{-4}\\ & \approx 19,54\mathrm{\%}\end{array}$

d)

$P(X>4)=1-P(X=4)-P(X<4)\approx 37,12\mathrm{\%}$

e)

$P(X>3|X>0)=$

Bin mir nicht sicher aber ich hab es so gerechnet: $=\frac{P(X>3\cap X>0)}{P(X>0)}=\frac{P(X>3)}{P(X>0)}\approx 0.5771$

Ergänzung

Passt denke ich, denn es gilt

$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

und bei

$\begin{array}{c}A=X>3=\{X=3,X=4,\mathrm{...},X=n\}\\ B=X>0=\{X=0,X=1,\mathrm{...},X=n\}\end{array}$

gilt offensichtlich

$A\cap B=A$

daher muss

$P(X>3|X>0)=\frac{P(X>3)}{P(X>0)}$

stimmen. --Thrau (Diskussion) 20:50, 3. Okt. 2013 (CEST)