TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS12/Beispiel 65

Von einer bestimmeten Briefkastenwerbung ist bekannt, daß in zwei von 1000 Fällen auf grund dieser Werbung ein Kaufvertrag abgeschlossen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 800 Personen, die in Ihrem Briefkasten die Werbung vorfinden

• a) keine
• b) höchstens zwei
• c) mindestens drei

einen Kaufvertrag abschließen.

(Hinweis: Poissonverteilung)

Hilfreiches

Poissonverteilung

Poissonverteilung

"Verteilung der seltenen Ereignisse".

Sie nähert, wenn ein großes $n$ und ein kleines $p$ vorliegt, die Binomialverteilung sehr gut an. (Faustregel: $p<.1$ und $n>50$.) In diesem Fall ist $\lambda =n\cdot p$.

${\begin{aligned}\lambda =&g\cdot w\quad \ldots \ {\text{“Parameter” der Verteilung, glz. auch Erwartungswert und Varianz}}\\&g\ldots \ {\text{Ereignisrate}}\\&w\ldots \ {\text{Beobachtungsintervall}}\\\end{aligned}}$

$W(\{i\})={\dfrac {\lambda ^{i}\cdot e^{-\lambda }}{i!}}$

(anm.: in der VO wird $\mu$ statt $\lambda$ verwendet.)

Wikipedia

Lösungsvorschlag

Uns interessiert die Zufallsvariable $X$ = "Anzahl der Personen, die auf grund der Werbung einen Kaufvertrag abschließen"

Wahrscheinlichkeit, dass ein Kaufvertrag auf grund der Werbung abgeschlossen wird:

${\begin{aligned}p&={\frac {2}{1000}}=0.002\\n&=800\\\lambda &=np=1.6\end{aligned}}$

a

${\begin{aligned}P(X=0)&=p_{0}\\&=e^{-1.6}\\&=0.2018...\end{aligned}}$

b

${\begin{aligned}P(X\leq 2)&=\sum _{i=0}^{2}p_{i}\\&=0.7833...\end{aligned}}$

c

${\begin{aligned}P(X\geq 3)&=1-P(X\leq 2)\\&=1-0.7833...\\&=0.2166...\end{aligned}}$