TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie VO (Dutter)/Formeln für mündliche Prüfung

Gesammelte Formeln für mündliche Prüfung

Die Formeln sind komplett übernommen von der Ausarbeitung mündlicher Fragen im Vowi. User die dazu beigetragen haben stehen auf der genannten Seite.

Diese Sammlung soll vor allem dem auswendig lernen der Formeln dienen, da das für die mündliche Prüfung wichig sein kann. Gedacht ist es für jemanden der den Stoff bereits beherrscht, aber noch Formeln lernen muss. Das verstehen der Formeln soll/kann hier nicht ermöglicht werden.

Alle Formeln die im Test Bereich des Skriptums sind (z.B. 1/2-Stichproben t-test, Chi^2 Anpassungstest, ...) führe ich nicht extra auf, da sie dort sehr übersichtlich dargestellt sind. Die Formeln die über das gesamte Skriptum verteilt sind werden hier reingenommen (z.B. Konfidenzintervall, ...).

Erwartungswerte und Varianz

Stetig: $E(X)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x\cdot f(x)dx$

Diskret: $E(X)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\cdot p_{i}$

Varianz: $Var(X)=E(X^{2})-(E(X))^{2}$

Dutter ist hier lieber die nicht ausmultiplizierte Form zu verwenden: $Var(X)=E[X-E(X)]^{2}$

Standardabweichung: $\sigma ={\sqrt {Var(X)}}$.

Randverteilung

im diskreten Fall

$X:p_{i}=P_{X,i}=P(X=x_{i})=\sum _{j=1}^{\infty }p_{ij}$
bzw.
$Y:p_{j}=P_{Y,i}=P(Y=y_{j})=\sum _{i=1}^{\infty }p_{ij}$

im stetigen Fall

$f_{X}(x)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy$
bzw.
$f_{Y}(y)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x,y)dx$

Parameter

Varianz: ${{\frac {1}{n-1}}\cdot \sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}}$

Schiefe: ${\frac {{\frac {1}{n}}\cdot \sum (x_{i}-{\bar {x}})^{3}}{s^{3}}}$

Kurtosis ${\frac {{\frac {1}{n}}\cdot \sum (x_{i}-{\bar {x}})^{4}}{s^{4}}}-3$

F-Verteilung

Verteilung: $F(m,n)={\frac {\frac {\chi _{m}^{2}}{m}}{\frac {\chi _{n}^{2}}{n}}}$

Erwartungswert: $\operatorname {E} (X)={\frac {n}{n-2}}$

Varianz: $\operatorname {Var} (X)={\frac {2n^{2}(m+n-2)}{m(n-2)^{2}(n-4)}}.$

Transformation auf Standardnormalverteilung

${\tfrac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}$

Konfidenzintervall

für Mittelwert

bei bekanntem $\sigma$ = ${\bigg (}{\bar {x}}-z_{1-{\tfrac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}},{\bar {x}}+z_{1-{\tfrac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}{\bigg )}$

bei unbekanntem $\sigma$ (durch t-Verteilung angenähert) = ${\bigg (}{\bar {x}}-t_{n-1;1-{\tfrac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {S}{\sqrt {n}}},{\bar {x}}+t_{n-1;1-{\tfrac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {S}{\sqrt {n}}}{\bigg )}$

für Varianz

${\Bigg (}{\frac {(n-1)\cdot S^{2}}{\chi _{n-1;1-{\tfrac {\alpha }{2}}}^{2}}},{\frac {(n-1)\cdot S^{2}}{\chi _{n-1;{\tfrac {\alpha }{2}}}^{2}}}{\Bigg )}$

Regression

empirische Kovarianz = $s_{xy}={\frac {1}{n-1}}\cdot \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})={\frac {1}{n-1}}{\Big (}\sum (x_{i}y_{i})-n{\bar {x}}{\bar {y}}{\Big )}$

Residuenvarianz = $s^{2}={\frac {1}{n-2}}\cdot \sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}={\frac {n-1}{n-2}}(s_{y}^{2}-{\hat {b}}^{2}s_{x}^{2})$

Teststatistik = $T={\frac {{\hat {b}}\cdot s_{x}\cdot {\sqrt {n-1}}}{S}}={\hat {b}}\cdot {\sqrt {\frac {s_{x}^{2}\cdot (n-1)}{s^{2}}}}$

kritischer Bereich = $|T|>t_{n-2;1-{\tfrac {\alpha }{2}}}$

Korrelation

Teststatistik = $R\cdot {\sqrt {\frac {n-2}{1-R^{2}}}}$

kritischer Bereich = $|T|>t_{n-2;1-{\frac {\alpha }{2}}}$

Varianzanalyse

Quadratsumme jeder Stichprobe: $q_{I}=\sum _{j=1}^{k}\sum _{i=1}^{n_{j}}(x_{ij}-{\bar {x}}_{j})^{2}=\sum _{j=1}^{k}(n-1)\cdot s_{x_{j}}^{2}$

Quadratsumme zwischen Stichproben: $q_{Z}=\sum _{j=1}^{k}\sum _{i=1}^{n_{j}}({\bar {x}}_{j}-{\bar {x}})^{2}$

Hypothesen: $H_{0}:\mu _{1}=\mu _{2}=\dots =\mu _{k},\qquad H_{1}:\mu _{r}\neq \mu _{s}$ für mindestens ein $r\neq s$

Teststatistik: $F={\frac {q_{Z}/(k-1)}{q_{I}/(n-k)}}={\frac {(n-k)\cdot q_{Z}}{(k-1)\cdot q_{I}}}$

Kritischer Bereich: $F>F_{k-1;n-k;1-\alpha }$

Klassifizierungsproblem

Teststatistik: $T=\sum {\frac {(h_{i}-e_{i})^{2}}{e_{i}}}$

kritischer Bereich: χ2-Statistik mit k-1 im einfachen und (r-1)(c-1) Freiheitsgraden im zweifachen Fall