TU Wien Diskussion:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 45
Nur mal ein ganz anderer Ansatz (der nach dem lesen dieser schönen Arten dämlich erscheint):
Die rechte Seite wächst exponentiell an (n im Exponent), hingegen wächst die Linke Seite der Gleichung nur quadratisch mit Multiplikator 4 an - es wäre also wahscheinlich, dass die Graphen der beiden Seiten - jeweils als eigene Funktion betrachtet - sich nach relativ geringer Zeit schneiden. Also kann man durch probieren der ersten ~10n bereits ein Ergebnis haben (hier 8), in diesem Fall sogar der Schnitt der Graphen genau bei 8.
Ist es also möglich die Graphen zu skizzieren und nur näherungsweiß den Schnittpunkt zu bestimmen (vielleicht mit Logarithmus zur Basis der Basis des "n" im Exponent, hier 2) (wenn LS != RS bekomme ich ja möglicherweiße eine irrationale Zahl und muss aufrunden) - das Wachstum ist ja stetig (vielleicht das auch noch beweißen? streng monoton steigend) - wäre das auch zufrieden stellend gwesen? Lukas M.
Nein, aber[Quelltext bearbeiten]
Der Ansatz ist natürlich vollkommen korrekt. Durch hinschauen weiß ich, dass der rechte Term den linken an einem gewissen Punkt überholt und dann nie mehr eingeholt werden kann. Das müsste ich auch nichtmal graphisch lösen, ich setze einfach beide Seiten gleich. Das ist dann die Stelle im Graphen wo sie sich treffen und alles n was größer als dieser Punkt ist, dort ist die Ungleichung richtig.
Problem bei deinem Ansatz ist aber, dass in der Angabe steht, dass du es durch vollständige Induktion zu lösen hast. Im Graphen lösen ist auch eine Methode, aber Induktion ist eine andere.
Also so würde ich denken.RolandU
Mein (Denk-)Fehler[Quelltext bearbeiten]
Ach ja, da steht ja noch mehr in der Angabe :( (Ich habe die heute selber nur von Freunden abgeschrieben, denen war das wohl zu trivial ;-) )
Danke für die schnelle Antwort!
Lösung 1[Quelltext bearbeiten]
Ich hatte gestern Matheübung und da hat unser Tutor gemeint (Namen vergessen) Dass Lösung 2 richtig, Lösung 1 vorgerechnet vom Professor aber falsch sei. Außerdem gibt es noch eine Lösung: 4n^2 <= 2^n
gilt ab n <= 8
Induktionsvoraussetzung: n = 8 256 <= 256
Induktionsbehauptung: Gilt auch für n + 1
Beweis: 4(n+1)^2 <= 2^(n+1) 4n^2 + 8n + 4 <= 2^n + 2^n (Klammer ausquadriert!) 8n + 4 <= 2^n (/2^n) Beweis: 8n + 4 <= 2^n 8(n+1) + 4 <= 2^(n+1) 8n + 8 +4 <= 2^n + 2^n 8 <= 2^n (/2^n) 2^3 <= 2^n
In unserem Fall gilt das natürlich erst ab 8!!! Wurde bei mir in der Vorlesung so vorgerechnet und als richtig befunden! lg Steen