TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 127

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Man zeige: (C, \preceq) ist Halbordnung mit z = a + ib \preceq w = c + id, falls a < c oder (a = c und b \leq d).

Weiters gebe man drei verschiedene komplexe Zahlen z_{1}, z_{2}, z_{3} \in C\{0} an, für die z_{1} \preceq z_{2} und  z_{3} \succeq  0 , aber z_{3}z_{1} \succeq z_{3}z_{2} gelten.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Umrechnung komplex[Bearbeiten]

Umrechnung von komplexen Zahlen:

  • Kartesische \longrightarrow Polar-Darstellung: \;(a, \mathsf{i}b)\;\rightarrow\;[r, \varphi]:
r=\sqrt{a^2+b^2},
\varphi=\begin{cases}
\arctan\frac{b}{a}&a>0\qquad\text{(I., IV. Quadrant)}\\
\arctan\frac{b}{a}+\pi&a<0, b>0\quad\text{(II. Quadrant)}\\
\arctan\frac{b}{a}-\pi&a<0, b<0\quad\text{(III. Quadrant)}
\end{cases}
  • Polare \longrightarrow kartesische Darstellung: \;[r, \varphi]\;\rightarrow\;(a, \mathsf{i}b):\quad
\begin{cases}a=r\cdot\cos\varphi\\b=r\cdot\sin\varphi\end{cases}
Halbordnung[Bearbeiten]

Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Halbordnung oder partielle Ordnung, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

  • Reflexivität: \forall a\, \in A: aRa,
  • Antisymmetrie: \forall a,b\, \in A: (aRb \wedge bRa) \Rightarrow a = b,
  • Transitivität: \forall a,b,c\, \in A: (aRb \wedge bRc) \Rightarrow aRc.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Prüfen ob Halbordnung[Bearbeiten]

Reflexivität:[Bearbeiten]

zRz: a+ib \leq a+ib gegeben da a=a und b=b

Antisymmetrie:[Bearbeiten]

zRw \wedge wRz \Rightarrow z=w

a+ib \leq c+id \wedge c+id \leq a+ib

Hier muss mit einer Fallunterscheidung gearbeitet werden, da laut Angabe die Möglichkeiten bestehen das a<c bzw. a=c und b<=d sein kann.

1. a<c \wedge c<a: nicht möglich

2. (a=c \wedge b \leq d) \wedge (c=a \wedge d \leq b) \Rightarrow b = d: OK

Transitivität:[Bearbeiten]

zRw \wedge wRq \Rightarrow zRq

a + ib \leq c + id \leq e + if \Rightarrow a + ib \leq e + if

Es muss wiederum eine Fallunterscheidung durchgeführt werden:

1. a < c \wedge c < e \Rightarrow a < e: OK

Erster Fall: wenn a kleiner ist als c und c kleiner ist als e gilt auch, dass a kleiner als e ist.

2.  a < c \wedge (c = e \wedge d \leq f) \Rightarrow a < e: OK

Zweiter Fall: wenn a kleiner ist als c und c gleich e, dann gilt bereits, dass a kleiner als e ist.

3.  (a = c \wedge b \leq d) \wedge c < e \Rightarrow a < e: OK

Dritter Fall: wenn a gleich c ist und c kleiner als e ist, dann gilt ebenfalls, dass a kleiner als e ist.

4.  (a = c \wedge b \leq d) \wedge (c = e \wedge d \leq f) \Rightarrow a = e \wedge b \leq f: OK

Vierter Fall: wenn a gleich c und c gleich e ist, müssen die Imaginärteile beachtet werden, wenn für diese gilt b kleiner gleich d und d kleiner gleich f, dann gilt auch a gleich e und b kleiner gleich f

Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität sind gegeben \Rightarrow Halbordnung

Zahlenbeispiele[Bearbeiten]

Weiters gebe man drei verschiedene komplexe Zahlen z_{1}, z_{2}, z_{3} \in C\{0} an, für die z_{1} \leq z_{2} und  z_{3} \geq  0 , aber z_{3}z_{1} \geq z_{3}z_{2} gelten.

  • z_{1} = 2 - i
  • z_{2} = 2 + i
  • z_{3} = i

Realteil von z1 und z2 sind gleich, z2 ist jedoch größer als z1, da der Imaginärteil von z2 größer ist.

z_{3}z_{1} \geq z_{3}z_{2}

i (2-i) \geq i (2+i)

2i+1 \geq 2i-1

1+2i \geq -1+2i

Aufgrund des niedrigeren Realteils von z3z2 ist z3z1 größer.