TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 132

Man zeige: $(C,\preceq )$ ist Halbordnung mit z = a + ib $\preceq$ w = c + id, falls a < c oder (a = c und b $\leq$ d).

Weiters gebe man drei verschiedene komplexe Zahlen $z_{1},z_{2},z_{3}\in C$\{0} an, für die $z_{1}\preceq z_{2}$ und $z_{3}\succeq 0$ , aber $z_{3}z_{1}\succeq z_{3}z_{2}$ gelten.

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Hilfreiches

Umrechnung komplex

Umrechnung komplex

Umrechnung von komplexen Zahlen:

• Kartesische $\longrightarrow$ Polar-Darstellung: $\;(a,{\mathsf {i}}b)\;\rightarrow \;[r,\varphi ]:$

$r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},$

$\varphi ={\begin{cases}\arctan {\frac {b}{a}}&a>0\qquad {\text{(I., IV. Quadrant)}}\\\arctan {\frac {b}{a}}+\pi &a<0,b>0\quad {\text{(II. Quadrant)}}\\\arctan {\frac {b}{a}}-\pi &a<0,b<0\quad {\text{(III. Quadrant)}}\end{cases}}$

• Polare $\longrightarrow$ kartesische Darstellung: $\;[r,\varphi ]\;\rightarrow \;(a,{\mathsf {i}}b):\quad {\begin{cases}a=r\cdot \cos \varphi \\b=r\cdot \sin \varphi \end{cases}}$

Halbordnung

Halbordnung

Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Halbordnung oder partielle Ordnung, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

• Reflexivität: $\forall a\,\in A:aRa$,
• Antisymmetrie: $\forall a,b\,\in A:(aRb\wedge bRa)\Rightarrow a=b$,
• Transitivität: $\forall a,b,c\,\in A:(aRb\wedge bRc)\Rightarrow aRc$.

Lösungsvorschlag

Prüfen ob Halbordnung

Reflexivität:

$zRz:a+ib\leq a+ib$ gegeben da a=a und b=b

Antisymmetrie:

$zRw\wedge wRz\Rightarrow z=w$

$a+ib\leq c+id\wedge c+id\leq a+ib$

Hier muss mit einer Fallunterscheidung gearbeitet werden, da laut Angabe die Möglichkeiten bestehen das a<c bzw. a=c und b<=d sein kann.

1. $a<c\wedge c<a$: nicht möglich

2. $(a=c\wedge b\leq d)\wedge (c=a\wedge d\leq b)\Rightarrow b=d$: OK

Transitivität:

$zRw\wedge wRq\Rightarrow zRq$

$a+ib\leq c+id\leq e+if\Rightarrow a+ib\leq e+if$

Es muss wiederum eine Fallunterscheidung durchgeführt werden:

1. $a<c\wedge c<e\Rightarrow a<e$: OK

Erster Fall: wenn a kleiner ist als c und c kleiner ist als e gilt auch, dass a kleiner als e ist.

2. $a<c\wedge (c=e\wedge d\leq f)\Rightarrow a<e$: OK

Zweiter Fall: wenn a kleiner ist als c und c gleich e, dann gilt bereits, dass a kleiner als e ist.

3. $(a=c\wedge b\leq d)\wedge c<e\Rightarrow a<e$: OK

Dritter Fall: wenn a gleich c ist und c kleiner als e ist, dann gilt ebenfalls, dass a kleiner als e ist.

4. $(a=c\wedge b\leq d)\wedge (c=e\wedge d\leq f)\Rightarrow a=e\wedge b\leq f$: OK

Vierter Fall: wenn a gleich c und c gleich e ist, müssen die Imaginärteile beachtet werden, wenn für diese gilt b kleiner gleich d und d kleiner gleich f, dann gilt auch a gleich e und b kleiner gleich f

Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität sind gegeben $\Rightarrow$ Halbordnung

Zahlenbeispiele

Weiters gebe man drei verschiedene komplexe Zahlen $z_{1},z_{2},z_{3}\in C$\{0} an, für die $z_{1}\leq z_{2}$ und $z_{3}\geq 0$ , aber $z_{3}z_{1}\geq z_{3}z_{2}$ gelten.

• $z_{1}=2-i$

• $z_{2}=2+i$

• $z_{3}=i$

Realteil von z1 und z2 sind gleich, z2 ist jedoch größer als z1, da der Imaginärteil von z2 größer ist.

$z_{3}z_{1}\geq z_{3}z_{2}$

$i(2-i)\geq i(2+i)$

$2i+1\geq 2i-1$

$1+2i\geq -1+2i$

Aufgrund des niedrigeren Realteils von z3z2 ist z3z1 größer.