TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 134

Man zeige: $(C,⪯)$ ist Halbordnung mit z = a + ib $⪯$ w = c + id, falls a < c oder (a = c und b $\le$ d).

Weiters gebe man drei verschiedene komplexe Zahlen $z_1,z_2,z_3\in C$\{0} an, für die $z_1⪯z_2$ und $z_3⪰0$ , aber $z_3{z}_1⪰z_3{z}_2$ gelten.

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Hilfreiches

Umrechnung komplex

Umrechnung komplex

Umrechnung von komplexen Zahlen:

• Kartesische $⟶$ Polar-Darstellung: $(a,𝗂b)\to [r,\phi ]:$

$r=\sqrt{a^2+b^2},$

$\phi =\{\begin{array}{cc}\arctan \frac{b}{a}& a>0\text{(I., IV. Quadrant)}\\ \arctan \frac{b}{a}+\pi & a<0,b>0\text{(II. Quadrant)}\\ \arctan \frac{b}{a}-\pi & a<0,b<0\text{(III. Quadrant)}\end{array}$

• Polare $⟶$ kartesische Darstellung: $[r,\phi ]\to (a,𝗂b):\{\begin{array}{c}a=r\cdot \cos \phi \\ b=r\cdot \sin \phi \end{array}$

Halbordnung

Halbordnung

Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Halbordnung oder partielle Ordnung, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

• Reflexivität: $\mathrm{\forall }a\in A:aRa$,
• Antisymmetrie: $\mathrm{\forall }a,b\in A:(aRb\wedge bRa)\Rightarrow a=b$,
• Transitivität: $\mathrm{\forall }a,b,c\in A:(aRb\wedge bRc)\Rightarrow aRc$.

Lösungsvorschlag

Prüfen ob Halbordnung

Reflexivität:

$zRz:a+ib\le a+ib$ gegeben da a=a und b=b

Antisymmetrie:

$zRw\wedge wRz\Rightarrow z=w$

$a+ib\le c+id\wedge c+id\le a+ib$

Hier muss mit einer Fallunterscheidung gearbeitet werden, da laut Angabe die Möglichkeiten bestehen das a<c bzw. a=c und b<=d sein kann.

1. $a<c\wedge c<a$: nicht möglich

2. $(a=c\wedge b\le d)\wedge (c=a\wedge d\le b)\Rightarrow b=d$: OK

Transitivität:

$zRw\wedge wRq\Rightarrow zRq$

$a+ib\le c+id\le e+if\Rightarrow a+ib\le e+if$

Es muss wiederum eine Fallunterscheidung durchgeführt werden:

1. $a<c\wedge c<e\Rightarrow a<e$: OK

Erster Fall: wenn a kleiner ist als c und c kleiner ist als e gilt auch, dass a kleiner als e ist.

2. $a<c\wedge (c=e\wedge d\le f)\Rightarrow a<e$: OK

Zweiter Fall: wenn a kleiner ist als c und c gleich e, dann gilt bereits, dass a kleiner als e ist.

3. $(a=c\wedge b\le d)\wedge c<e\Rightarrow a<e$: OK

Dritter Fall: wenn a gleich c ist und c kleiner als e ist, dann gilt ebenfalls, dass a kleiner als e ist.

4. $(a=c\wedge b\le d)\wedge (c=e\wedge d\le f)\Rightarrow a=e\wedge b\le f$: OK

Vierter Fall: wenn a gleich c und c gleich e ist, müssen die Imaginärteile beachtet werden, wenn für diese gilt b kleiner gleich d und d kleiner gleich f, dann gilt auch a gleich e und b kleiner gleich f

Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität sind gegeben $\Rightarrow$ Halbordnung

Zahlenbeispiele

Weiters gebe man drei verschiedene komplexe Zahlen $z_1,z_2,z_3\in C$\{0} an, für die $z_1\le z_2$ und $z_3\ge 0$ , aber $z_3{z}_1\ge z_3{z}_2$ gelten.

• $z_1=2-i$

• $z_2=2+i$

• $z_3=i$

Realteil von z1 und z2 sind gleich, z2 ist jedoch größer als z1, da der Imaginärteil von z2 größer ist.

$z_3{z}_1\ge z_3{z}_2$

$i(2-i)\ge i(2+i)$

$2i+1\ge 2i-1$

$1+2i\ge -1+2i$

Aufgrund des niedrigeren Realteils von z3z2 ist z3z1 größer.