TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 211

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Man bestimme die allgemeine Lösung der Differenzengleichung

x_{n+1} = \frac{x_n}{1 + x_n}, \qquad n = 0,1,2, \dots

mit x_0 \ne -1, -1/2, - 1/3, \dots.

(Hinweis: Man benütze die Transformation x_n = 1/y_n.)

Hilfreiches[Bearbeiten]

Lineare Differenzengleichung erste Ordnung mit konstanten Koeffizienten[Bearbeiten]

Für die lineare Differenzengleichung erster Ordnung

x_{n+1} = ax_n + b, n=0,1,2,\dots

gilt, wenn a und b konstant sind,

x_n = a^nx_0 + (1 + a + \dots + a^{n-1})b =
\begin{cases}
a^nx_0 + b \frac{a^n-1}{a-1} & \text{ für } a \neq 1\\
x_0 + bn & \text{ für } a = 1
\end{cases}
.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Transformation (x_n = \frac{1}{y_n} und x_{n+1} = \frac{1}{y_{n+1}} einsetzen:

\begin{align}
x_{n+1} &= \frac{x_n}{1 + x_n} \\
\frac{1}{y_{n+1}} &= \frac{\frac{1}{y_n}}{1 + \frac{1}{y_n}} \\
y_{n+1} &= \frac{1 + \frac{1}{y_n}}{\frac{1}{y_n}} \\
y_{n+1} &= y_n + 1 
\end{align}

Nun kann man in die Formel mit a=1 und b=1 einsetzen und rücktransformieren:

\begin{align}
y_n &= y_0 + 1 \cdot n \\
\frac{1}{x_n} &= \frac{1}{x_0} + n \\
x_n &= \frac{1}{\frac{1}{x_0} + n} \\
x_n &= \frac{x_0}{1 + n \cdot x_0}
\end{align}

Lösungsvorschlag von mnemetz (basierend auf Lösung aus 2004 unten)[Bearbeiten]

Ich habe meinen Lösungsvorschlag (basierend auf Lösung aus 2004 unten) mit LaTex nieder geschrieben und das PDF hier zum Download bereitgestellt. --Markus Nemetz 09:49, 9. Jun 2006 (CEST)

Lösung aus Karigl 2004[Bearbeiten]

Quelle[Bearbeiten]

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 78

Links[Bearbeiten]