TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 479

Zeigen Sie: $\mathbb {C}$ bildet mit den in $\mathbb {C}$ ausgeführten Operationen Addition und Produkt mit

einem Skalar einen Vektorraum über $\mathbb {R}$.

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Lösungsvorschlag von neo

Man muss beweisen, dass $(\mathbb {C} ,+\mathbb {R} )$ ein Vektorraum ist.
Da $\mathbb {C}$ per Definition ein Körper ist, fällt der Beweis für $(\mathbb {C} ,+)$ als abelsche Gruppe weg. Es müssen nur die vektorielle und skalare Distributivität, skalare Assoziativität und die Existenz eines neutralen Elements bezüglich der skalaren Multiplikation bewiesen werden (Mathematik für Informatik 4.Auflage S.104).

$\lambda ((a+bi)+(c+di))=\lambda a+\lambda b+\lambda i(b+d)$
$\lambda (a+bi)+\lambda (c+di)=\lambda a+\lambda bi+\lambda c+\lambda di=\lambda a+\lambda b+\lambda i(b+d)$
$\Rightarrow$ vektorielle Distributivität

$(\lambda +\mu )(a+bi)=\lambda a+\lambda bi+\mu a+\mu bi=\lambda (a+bi)+\mu (a+bi)$
$\Rightarrow$ skalare Distributivität

$(\lambda \mu )(a+bi)=\lambda \mu a+\lambda \mu bi$
$\lambda (\mu (a+bi))=\lambda (\mu a+\mu bi)=\lambda \mu a+\lambda \mu bi$
$\Rightarrow$ skalare Assoziativität

Das neutrale Element bezüglich der Multiplikation in $\mathbb {R}$ ist $1$.
$1(a+bi)=a+bi$
$\Rightarrow$ neutrales Element bezüglich der Skalarmultiplikation

Damit wäre bewiesen, dass $(\mathbb {C} ,+,\mathbb {R} )$ einen Vektorraum über $\mathbb {R}$ darstellt.

Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
4. $1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 01:32, 25. Feb. 2026 (CET)

Zeigen Sie: $\mathbb {C}$ bildet mit den in $\mathbb {C}$ ausgeführten Operationen Addition und Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum über $\mathbb {R}$.

Zu zeigen ist, dass $\langle \mathbb {C} ,+,\cdot \rangle$ über $\mathbb {R}$ ein Vektorraum ist.

Der kürzeste Beweis wäre ein Vektorraum-Isomorphismus zwischen $\mathbb {C}$ und dem bekannten Vektorraum $\mathbb {R} ^{2}$ mit der Abbildung:

$\varphi \colon \,\mathbb {C} \to \mathbb {R} ^{2},\quad \varphi (x+y\cdot i)=(x,y)$.

Für die Überprüfung gehen wir Schritt für Schritt die Definitionen des Vektorraumes $\langle \mathbb {C} ,+,\cdot \rangle$ über $\mathbb {R}$ durch.

Abelsche Gruppe C

Zu zeigen ist: $(\mathbb {C} ,+)$ ist eine abelsche Gruppe

• Nicht leer: $\mathbb {C}$ ist nicht leer, da $0_{C}\in \mathbb {C} .\qquad {\color {green}\surd }$
• Assoziativität: $\forall \,a,b,c\;\in \mathbb {C}$ gilt$\colon$

$(a+b)+c=a+(b+c)$: Das AG folgt aus der reellen Addition des Real- und des Imaginärteils in $\mathbb {C} .\qquad {\color {green}\surd }$

• Existenz eines neutralen Elementes bezüglich $+$: Es gibt ein neutrales Element $0_{C}=(0+0\cdot i)\in \mathbb {C}$ mit

$\forall \,a\in \mathbb {C}$ gilt$\colon \;a+0_{C}=0_{C}+a=a.\qquad {\color {green}\surd }$

• Für alle Elemente der Gruppe $a$ existiert ein inverses Element:

$\forall \,a\in \mathbb {C}$ gilt$\colon \;\exists \,(-a)\in \mathbb {C}$ mit$\colon \;a+(-a)=(-a)+a=0_{C}$.

Sei $a=(a_{1}+a_{2}\cdot i),\,a_{1},a_{2}\in \mathbb {R} ,a\in \mathbb {C}$, dann ist das Inverse Element zu $a$: $-(a_{1}+a_{2}\cdot i)=(-a_{1})+(-a_{2})\cdot i.\qquad {\color {green}\surd }$

• Abelsche Gruppe: Kommutativgesetz: $\forall \,a,b\,\in \mathbb {C}$ gilt$\colon \;(a+b)=(b+a).\qquad {\color {green}\surd }$

Körper R

Wir wissen, dass $\langle \mathbb {R} ,+,\cdot \rangle$ ein Körper ist.

• Anmerkung: Mengentheoretisch sind die beiden Mengen: $\mathbb {R} \subset \mathbb {C}$.

Skalarmultiplikation

• Die Skalarmultiplikation $\mathbb {R} \times \mathbb {C} \mapsto \mathbb {C} \colon$

$\lambda \cdot (x_{1}+x_{2}\cdot i)=(\lambda \cdot x_{1})+(\lambda \cdot x_{2}\cdot i)\in \mathbb {C}$ mit $\lambda ,\,x_{1},\,x_{2}\in \mathbb {R} ,(x_{1}+x_{2}\cdot i)\in \mathbb {C}$.

Vektorraum

• $V=\langle \mathbb {C} ,+,\cdot \rangle$ heißt Vektorraum über den Körper $\mathbb {R}$, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in \mathbb {R}$ folgendes gilt:

Distributivgesetz V

• Z.z.: $\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda \cdot {\vec {x}}+\lambda \cdot {\vec {y}}$

${\vec {x}}=(x_{1}+x_{2}\cdot i),\,{\vec {y}}=(y1+y2\cdot i),\,{\vec {x}},\,{\vec {y}}\in \mathbb {C} ,\,\lambda ,\,x_{1},\,x_{2},\,y_{1},\,y_{2}\in \mathbb {R}$. Daraus folgt:

${\begin{alignedat}{1}&{\vec {x}}+{\vec {y}}=((x_{1}+y_{1})+(x_{2}+y_{2})\cdot i)\implies \\&\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda \cdot ((x_{1}+y_{1})+(x_{2}+y_{2})\cdot i)=\lambda \cdot (x_{1}+y_{1})+\lambda \cdot (x_{2}+y_{2})\cdot i=\\&(\lambda \cdot x_{1}+\lambda \cdot y_{1})+(\lambda \cdot x_{2}+\lambda \cdot y_{2})\cdot i=(\lambda \cdot x_{1}+\lambda \cdot x_{2}\cdot i)+(\lambda \cdot y_{1}+\lambda \cdot y_{2}\cdot i)=\\&\lambda \cdot {\vec {x}}+\lambda \cdot {\vec {y}}.\end{alignedat}}$

Distributivgesetz K

• Z.z.: $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot {\vec {x}}+\mu \cdot {x}$:

${\vec {x}}=(x_{1}+x_{2}\cdot i),{\vec {x}}\in \mathbb {C} ,\,\lambda ,\,\mu ,\,x_{1},\,x_{2}\in \mathbb {R}$. Daraus folgt:

${\begin{alignedat}{1}&(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=(\lambda +\mu )\cdot (x_{1}+x_{2}\cdot i)=((\lambda +\mu )\cdot x_{1}+(\lambda +\mu )\cdot x_{2}\cdot i)=\\&(\lambda \cdot x_{1}+\mu \cdot x_{1}+\lambda \cdot x_{2}\cdot i+\mu \cdot x_{2}\cdot i)=(\lambda \cdot (x_{1}+x_{2}\cdot i)+\mu \cdot (x_{1}+x_{2}\cdot i))=\\&\lambda \cdot {\vec {x}}+\mu \cdot {\vec {x}}.\end{alignedat}}$

Assoziativgesetz K, V

• Z.z.: $(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu \cdot {\vec {x}})$

${\vec {x}}=(x_{1}+x_{2}\cdot i),{\vec {x}}\in \mathbb {C} ,\,\lambda ,\,\mu ,\,x_{1},\,x_{2}\in \mathbb {R}$. Daraus folgt:

${\begin{alignedat}{1}&(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=(\lambda \cdot \mu )\cdot (x_{1}+x_{2}\cdot i))=(\lambda \cdot \mu )\cdot x_{1}+(\lambda \cdot \mu )\cdot x_{2}\cdot i=\\&\lambda \cdot (\mu \cdot x_{1})+\lambda \cdot (\mu \cdot x_{2}\cdot i)=\lambda \cdot (\mu \cdot x_{1})+\lambda \cdot (\mu \cdot x_{2}\cdot i)=\lambda \cdot (\mu \cdot (x_{1}+x_{2}\cdot i))=\\&\lambda \cdot (\mu \cdot {\vec {x}}).\end{alignedat}}$

Einselement K

• Z.z.: $1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

${\vec {x}}=(x_{1}+x_{2}\cdot i),{\vec {x}}\in \mathbb {C} ,\,x_{1},\,x_{2}\in \mathbb {R}$. Daraus folgt:

$1\cdot {\vec {x}}=1\cdot (x_{1}+x_{2}\cdot i)=(1\cdot x_{1}+1\cdot x_{2}\cdot i)=x_{1}+x_{2}\cdot i={\vec {x}}$.

Alle Vektorraumaxiome sind erfüllt, daher ist $\langle \mathbb {C} ,+,\cdot \rangle$ ein Vektorraum über dem Körper $\mathbb {R}$.

Es ist ein zwei dimensionaler Vektorraum über $\mathbb {R}$. Als Basis könnte man die Standardbasis $(1,i)$ verwenden. $\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum

Ähnliche Beispiele:

• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_477
• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_478