TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 480

Zeigen Sie: In jedem Vektorraum $V$ über dem Körper $\mathbb {K}$ gilt $\lambda \cdot 0=0$ für alle $\lambda \in \mathbb {K}$ und $0_{K}\cdot {\vec {a}}=0$ für alle ${\vec {a}}\in V$.

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Lösungsvorschlag von neo

Meinem Verständnis nach entspricht $o$ in diesem Fall dem Nullvektor.
$o={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\.\\.\\.\end{pmatrix}}$

$\lambda *o=\lambda *{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\.\\.\\.\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda 0\\\lambda 0\\\lambda 0\\\lambda 0\\.\\.\\.\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\.\\.\\.\end{pmatrix}}=o$

$0*a=0*{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\\.\\.\\.\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0a_{1}\\0a_{2}\\0a_{3}\\0a_{4}\\.\\.\\.\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\.\\.\\.\end{pmatrix}}=o$
$\Box$

Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
4. $1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 20:05, 24. Feb. 2026 (CET)

Zeigen Sie: In jedem Vektorraum $V$ über dem Körper $\mathbb {K}$ gilt $\lambda \cdot 0=0$ für alle $\lambda \in \mathbb {K}$ und $0_{K}\cdot {\vec {a}}=0$ für alle ${\vec {a}}\in V$.

Anmerkung: In diesen Beweisen unterscheide ich zwischen $0$ des Körpers $0_{K}\in \mathbb {K}$ und dem Nullvektor $0_{V}\in V$.

Zuerst zeigen wir den zweiten Beweis für $0_{K}\cdot {\vec {a}}=0_{V},\;\forall \,{\vec {a}}\in V$:

Beweis: $0_{K}\cdot {\vec {a}}={\vec {0_{V}}},\,{\vec {a}},\,{\vec {0_{V}}}\in V,0_{K}\in \mathbb {K}$:

Aus $(0_{K}+0_{K})=0_{K}$ folgt:

$(0_{K}+0_{K})\cdot {\vec {a}}=(0_{K})\cdot {\vec {a}}$.

Das DG besagt: $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {a}}=(\lambda \cdot {\vec {a}})+(\mu \cdot {\vec {a}})$:

Ausgehend vom DG folgt:

$(0_{K}+0_{K})\cdot {\vec {a}}=(0_{K}\cdot {\vec {a}})+(0_{K}\cdot {\vec {a}})$.

Also gilt:

$(0_{K}+0_{K})\cdot {\vec {a}}=(0_{K}\cdot {\vec {a}})$ und $(0_{K}+0_{K})\cdot {\vec {a}}=(0_{K}\cdot {\vec {a}})+(0_{K}\cdot {\vec {a}})$.

Setzt man die beiden rechten Seiten gleich, folgt:

$(0_{K}\cdot {\vec {a}})=(0_{K}\cdot {\vec {a}})+(0_{K}\cdot {\vec {a}})$.

Addieren wir auf beiden Seiten das additiv Inverse von $(0_{K}\cdot {\vec {a}})$, so folgt:

$(0_{K}\cdot {\vec {a}})+(-(0_{K}\cdot {\vec {a}}))=(0_{K}\cdot {\vec {a}})+(0_{K}\cdot {\vec {a}})+(-(0_{K}\cdot {\vec {a}}))\implies {\color {green}{\vec {0_{V}}}=(0_{K}\cdot {\vec {a}})}$.

Den ersten Beweis kann man in zwei Varianten interpretieren:

• Multiplikation mit dem Skalar $0_{K}\colon \,$ Das ergibt wegen der Körpereigenschaften, keine Nullteiler, sofort $0_{K}$ (ohne Beweis).
• Multiplikation mit dem Nullvektor $0_{V}\colon \,$. Das ist der interessantere Beweis.

Beweis: $\lambda \cdot 0_{V}=0_{V}$ für alle $\lambda \in \mathbb {K} ,\;{\vec {a}}\in V$.

$\lambda \cdot (0_{V}+0_{V})=\lambda \cdot (0_{V})$ und

Aus dem Vektorraumaxiom (DG) gilt allgemein (${\vec {b}}\in V$):

$\lambda \cdot ({\vec {a}}+{\vec {b}})=\lambda \cdot {\vec {a}}+\lambda \cdot {\vec {b}}$.

Daraus folgt:

$\lambda \cdot (0_{V}+0_{V})=\lambda \cdot 0_{V}+\lambda \cdot 0_{V}$.

Also gilt:

$\lambda \cdot (0_{V}+0_{V})=\lambda \cdot (0_{V})$ und $\lambda \cdot (0_{V}+0_{V})=\lambda \cdot 0_{V}+\lambda \cdot 0_{V}$.

Setzen wir nun die beiden Seiten gleich, dann folgt daraus:

$\lambda \cdot 0_{V}=\lambda \cdot 0_{V}+\lambda \cdot 0_{V}$.

Addieren wir auf beiden Seiten das additive, vektorielle Inverse von $(\lambda \cdot 0_{V})$, erhalten wir:

$\lambda \cdot 0_{V}+-(\lambda \cdot 0_{V})=\lambda \cdot 0_{V}+\lambda \cdot 0_{V}+-(\lambda \cdot 0_{V})$.

Auf der linken Seite bleibt $0_{V}$ und auf der rechten Seite bleibt $\lambda \cdot 0_{V}$ stehen, also gilt

${\color {green}0_{V}=(\lambda \cdot 0_{V})}$. $\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum

Ähnliche Beispiele:

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