TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 483

Zeigen Sie, dass in jedem Vektorraum $V$ über dem Körper $\mathbf {K}$ für alle $a\in V,\lambda \in \mathbf {K}$ gilt:

$(-\lambda )\cdot (-a)=\lambda \cdot a$

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Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
4. $1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 21:33, 22. Feb. 2026 (CET) Zeigen Sie, dass in jedem Vektorraum $V$ über dem \mathbb{K}örper $\mathbb {K}$ für alle ${\vec {a}}\in V,\lambda \in \mathbb {K}$ gilt: $(-\lambda )\cdot ({\vec {-a}})=\lambda \cdot {\vec {a}}$

Anmerkung: In diesen Beweisen unterscheide ich zwischen $0$ des Körpers $0_{K}\in \mathbb {K}$ und dem Nullvektor $0_{V}\in V$.

Beweis: $0_{K}\cdot {\vec {a}}={\vec {0_{V}}},\,{\vec {a}},\,{\vec {0_{V}}}\in V,0_{K}\in \mathbb {K}$:

Aus $(0_{K}+0_{K})=0_{K}$ folgt:

$(0_{K}+0_{K})\cdot {\vec {a}}=(0_{K})\cdot {\vec {a}}$.

Das DG besagt: $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {a}}=(\lambda \cdot {\vec {a}})+(\mu \cdot {\vec {a}})$:

Ausgehend vom DG folgt:

$(0_{K}+0_{K})\cdot {\vec {a}}=(0_{K}\cdot {\vec {a}})+(0_{K}\cdot {\vec {a}})$.

Also gilt:

$(0_{K}+0_{K})\cdot {\vec {a}}=(0_{K}\cdot {\vec {a}})$ und $(0_{K}+0_{K})\cdot {\vec {a}}=(0_{K}\cdot {\vec {a}})+(0_{K}\cdot {\vec {a}})$.

Setzt man die beiden rechten Seiten gleich, folgt:

$(0_{K}\cdot {\vec {a}})=(0_{K}\cdot {\vec {a}})+(0_{K}\cdot {\vec {a}})$.

Addieren wir auf beiden Seiten das additiv Inverse von $(0_{K}\cdot {\vec {a}})$, so folgt:

$(0_{K}\cdot {\vec {a}})+(-(0_{K}\cdot {\vec {a}}))=(0_{K}\cdot {\vec {a}})+(0_{K}\cdot {\vec {a}})+(-(0_{K}\cdot {\vec {a}}))\implies {\color {green}{\vec {0_{V}}}=(0_{K}\cdot {\vec {a}})}$.

Beweis: $(-{\vec {a}})=(-1)\cdot {\vec {a}},\,{\vec {a}},\,{\vec {0_{V}}}\in V,0_{K}\in \mathbb {K}$:

Da $1+(-1)=0_{K}$, folgt durch Multiplikation mit ${\vec {a}}$:

$(1+(-1))\cdot {\vec {a}}=0_{K}\cdot {\vec {a}}={\vec {0_{V}}}$ - nach obigen Beweis: $0_{K}\cdot {\vec {a}}={\vec {0_{V}}}$.

Das DG besagt: $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {a}}=(\lambda \cdot {\vec {a}})+(\mu \cdot {\vec {a}})$:

Nach dem DG folgt:

$(1+(-1))\cdot {\vec {a}}=1\cdot {\vec {a}}+(-1)\cdot {\vec {a}}={\vec {a}}+(-1)\cdot {\vec {a}}$.

Setzen wir diese beiden Gleichungen gleich, erhalten wir:

$(1+(-1))\cdot {\vec {a}}={\color {blue}{\vec {0_{V}}}}$ und $(1+(-1))\cdot {\vec {a}}{\,=\color {blue}{\vec {a}}+(-1)\cdot {\vec {a}}}$.

Per Definition ist $(-{\vec {a}})$ das additive Inverse von ${\vec {a}}$, also ${\color {blue}{\vec {a}}+(-{\vec {a}})={\vec {0_{V}}}}$.

Das additive Inverse von ${\vec {a}}$ ist eindeutig bestimmt. Damit muss folgen:

${\vec {a}}+(-{\vec {a}})={\vec {0_{V}}}$ und ${\vec {a}}+(-1)\cdot {\vec {a}}={\vec {0_{V}}}\implies {\color {green}(-{\vec {a}})=(-1)\cdot {\vec {a}}}$.

Beweis: $(-\lambda )\cdot ({\vec {-a}})=(\lambda )\cdot {\vec {a}},\,{\vec {a}}\in V,\lambda \in \mathbb {K}$:

Anmerkung: In $\mathbb {K}$ gilt: $(-\lambda )\cdot (-1)=\lambda$.

${\color {green}(-\lambda )\cdot ({\vec {-a}})=\,}(-\lambda )\cdot ((-1)\cdot {\vec {a}})=((-\lambda )\cdot (-1))\cdot {\vec {a}}{\color {green}\,=\lambda \cdot {\vec {a}}}$. $\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum

Ähnliche Beispiele:

• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_480
• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_481
• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_482

Link auf PDF-Datei mit Lösungen von Beispielen:

• Datei:Mathe1-sol.pdf