TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 482

Zeigen Sie, dass in jedem Vektorraum $V$ über dem Körper $𝐊$ für alle $\overrightarrow{a}\in V,\lambda \in 𝐊$ gilt:

$\lambda \cdot (-\overrightarrow{a})=-(\lambda \cdot \overrightarrow{a})$

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Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V,\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot (\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\lambda \overrightarrow{x}+\lambda \overrightarrow{y}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \overrightarrow{x}+\mu x$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \cdot (\mu \overrightarrow{x})$
4. $1\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 16:54, 24. Feb. 2026 (CET)

Zeigen Sie, dass in jedem Vektorraum $V$ über dem Körper $𝕂$ für alle $\overrightarrow{a}\in V,\lambda \in 𝕂$ gilt: $\lambda \cdot (-\overrightarrow{a})=-(\lambda \cdot \overrightarrow{a})$

Anmerkung: In diesen Beweisen unterscheide ich zwischen $0$ des Körpers $0_K\in 𝕂$ und dem Nullvektor $0_V\in V$.

Beweis: $0_K\cdot \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0_V},\overrightarrow{a},\overrightarrow{0_V}\in V,0_K\in 𝕂$:

Aus $(0_K+0_K)=0_K$ folgt:

$(0_K+0_K)\cdot \overrightarrow{a}=(0_K)\cdot \overrightarrow{a}$.

Das DG besagt: $(\lambda +\mu )\cdot \overrightarrow{a}=(\lambda \cdot \overrightarrow{a})+(\mu \cdot \overrightarrow{a})$:

Ausgehend vom DG folgt:

$(0_K+0_K)\cdot \overrightarrow{a}=(0_K\cdot \overrightarrow{a})+(0_K\cdot \overrightarrow{a})$.

Also gilt:

$(0_K+0_K)\cdot \overrightarrow{a}=(0_K\cdot \overrightarrow{a})$ und $(0_K+0_K)\cdot \overrightarrow{a}=(0_K\cdot \overrightarrow{a})+(0_K\cdot \overrightarrow{a})$.

Setzt man die beiden rechten Seiten gleich, folgt:

$(0_K\cdot \overrightarrow{a})=(0_K\cdot \overrightarrow{a})+(0_K\cdot \overrightarrow{a})$.

Addieren wir auf beiden Seiten das additiv Inverse von $(0_K\cdot \overrightarrow{a})$, so folgt:

$(0_K\cdot \overrightarrow{a})+(-(0_K\cdot \overrightarrow{a}))=(0_K\cdot \overrightarrow{a})+(0_K\cdot \overrightarrow{a})+(-(0_K\cdot \overrightarrow{a}))⟹\overrightarrow{0_V}=(0_K\cdot \overrightarrow{a})$.

Beweis: $(-\overrightarrow{a})=(-1)\cdot \overrightarrow{a},\overrightarrow{a},\overrightarrow{0_V}\in V,0_K\in 𝕂$:

Da $1+(-1)=0_K$, folgt durch Multiplikation mit $\overrightarrow{a}$:

$(1+(-1))\cdot \overrightarrow{a}=0_K\cdot \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0_V}$ - nach obigen Beweis: $0_K\cdot \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0_V}$.

Das DG besagt: $(\lambda +\mu )\cdot \overrightarrow{a}=(\lambda \cdot \overrightarrow{a})+(\mu \cdot \overrightarrow{a})$:

Nach dem DG folgt:

$(1+(-1))\cdot \overrightarrow{a}=1\cdot \overrightarrow{a}+(-1)\cdot \overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}+(-1)\cdot \overrightarrow{a}$.

Setzen wir diese beiden Gleichungen gleich, erhalten wir:

$(1+(-1))\cdot \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0_V}$ und $(1+(-1))\cdot \overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}+(-1)\cdot \overrightarrow{a}$.

Per Definition ist $(-\overrightarrow{a})$ das additive Inverse von $\overrightarrow{a}$, also $\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0_V}$.

Das additive Inverse von $\overrightarrow{a}$ ist eindeutig bestimmt. Damit muss folgen:

$\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0_V}$ und $\overrightarrow{a}+(-1)\cdot \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0_V}⟹(-\overrightarrow{a})=(-1)\cdot \overrightarrow{a}$.

Beweis: $\lambda \cdot (-\overrightarrow{a})=-(\lambda \cdot \overrightarrow{a}),\overrightarrow{a}\in V,\lambda \in 𝕂$:

Anmerkung: In $𝕂$ gilt nach dem Kommutativgesetz: $((-1)\cdot \lambda )=(\lambda \cdot (-1))$.

Anmerkung: Um den Beweis exakt durchführen zu können: Der Ausdruck ($-(\lambda \cdot \overrightarrow{a})$) ist das additive Inverse von $(\lambda \cdot \overrightarrow{a})$.

Da der Ausdruck $-(\lambda \cdot \overrightarrow{a})\in V$ ist, folgt nach dem obigen Beweis $(-\overrightarrow{a})=(-1)\cdot \overrightarrow{a}$:

R.S.$:-(\lambda \cdot \overrightarrow{a})=(-1)\cdot (\lambda \cdot \overrightarrow{a})$.

Nach dem AG der Skalarmultiplikation von $V$ gilt: $(\lambda \cdot \mu )\cdot \overrightarrow{a}=\lambda \cdot (\mu \cdot \overrightarrow{a})$. Daraus folgt:

$(-1)\cdot (\lambda \cdot \overrightarrow{a})=((-1)\cdot \lambda )\cdot \overrightarrow{a}$.

Nun gilt in $𝕂$ das Kommutativgesetz:

$((-1)\cdot \lambda )\cdot \overrightarrow{a}=(\lambda \cdot (-1))\cdot \overrightarrow{a}$.

Nach dem Assoziativgesetz gilt:

$(\lambda \cdot (-1))\cdot \overrightarrow{a}=\lambda \cdot ((-1)\cdot \overrightarrow{a})$.

Mit dem 2. Beweis $(-\overrightarrow{a})=(-1)\cdot \overrightarrow{a}$ folgt dann:

$\lambda \cdot ((-1)\cdot \overrightarrow{a})=\lambda \cdot (-\overrightarrow{a})$. q.e.d. $◼$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum

Ähnliche Beispiele:

• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_480
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Link auf PDF-Datei mit Lösungen von Beispielen:

• Datei:Mathe1-sol.pdf