TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 119

Sei $f:A\rightarrow B$. Man zeige, daß durch $x\equiv y\Leftrightarrow f(x)=f(y)$ eine Äquivalenzrelation $\equiv$ auf der Menge $A$ definiert wird.

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Hilfreiches

Äquivalenzrelation

Äquivalenzrelation

Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Äquivalenzrelation, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

Reflexivität: $\forall a\,\in A:aRa$,

Symmetrie: $\forall a,b\,\in A:aRb\Rightarrow bRa$,

Transitivität: $\forall a,b,c\,\in A:(aRb\wedge bRc)\Rightarrow aRc$.

Reflexivität

Reflexivität

$\forall a\in M:\quad aRa$

Symmetrie

Symmetrie

$\forall a,b\in M:aRb\Rightarrow bRa$

Transitivität

Transitivität

$\forall a,b,c\in M:\quad a\circ b\wedge b\circ c\Rightarrow a\circ c$

Lösung von Baccus

Für eine Äquivalenzrelation muß gelten: (R)eflexiv, (S)ymmetrisch, (T)ransitiv:

(R): $x\equiv x\Leftrightarrow f(x)=f(x)$

(S): $x\equiv y\Rightarrow y\equiv x:f(x)=f(y)\Leftrightarrow f(y)=f(x)$

(T): $x\equiv y\wedge y\equiv z\Rightarrow x\equiv z:f(x)=f(y)\wedge f(y)=f(z)\Rightarrow f(x)=f(z)$

QED

--Baccus

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