TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 31

Man finde alle sechsten Wurzeln von $z=8i$ in $ℂ$ und stelle sie in der Gaußschen Zahlenebene dar!

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Lösungsvorschlag

Zu lösen ist also: $z^6=0+8i$

Wir müssen die vorliegende Form in die Polarform umwandeln, und zwar in:

$z=r\ast (\cos \varphi +i\ast \sin \varphi )$

• $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{64}=8$
• $\varphi =\frac{\pi }{2}$ da gilt:

$\phi =\{\begin{array}{cc}\arctan \frac{b}{a}& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}a>0\\ \arctan \frac{b}{a}+\pi & \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}a<0,b\ge 0\\ \arctan \frac{b}{a}-\pi & \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}a<0,b<0\\ \pi /2& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}a=0,b>0\\ -\pi /2& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}a=0,b<0\end{array}$

$=\{\begin{array}{cc}\arccos \frac{a}{r}& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}b\ge 0\\ \arccos (-\frac{a}{r})-\pi & \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}b<0\end{array}$

Somit ergibt die Überführung in die Polarform:

$z^6=8\ast (\cos \frac{\pi }{2}+i\ast \sin \frac{\pi }{2})$

Die "Wurzelformel" ist: (Siehe auch http://de.wikibooks.org/wiki/Komplexe_Zahlen#Satz_von_MOIVRE sowie das Beispiel danach auf dieser Website)

Die $\frac{\pi }{2}$ entsprechen den $90^{\circ }$ im folgenden.

$z_{0,\mathrm{...},5}=\sqrt[6]{8}\ast (\cos \frac{90^{\circ }+k\ast 360^{\circ }}{6}+i\sin \frac{90^{\circ }+k\ast 360^{\circ }}{6})k=\{0,1,2,3,4,5\}$

$k=0z_0=\sqrt[6]{8}\ast (\cos \frac{90^{\circ }+0\ast 360^{\circ }}{6}+i\sin \frac{90^{\circ }+0\ast 360^{\circ }}{6})=\sqrt[6]{8}\ast (0.9659+i\ast 0.2588)z_0=1.366+0,366i$

$k=1z_1=\sqrt[6]{8}\ast (\cos \frac{90^{\circ }+1\ast 360^{\circ }}{6}+i\sin \frac{90^{\circ }+1\ast 360^{\circ }}{6})=\sqrt[6]{8}\ast (0.2588+i\ast 0.9659)z_1=0.366+1,366i$

$k=2z_2=\sqrt[6]{8}\ast (\cos \frac{90^{\circ }+2\ast 360^{\circ }}{6}+i\sin \frac{90^{\circ }+2\ast 360^{\circ }}{6})=\sqrt[6]{8}\ast (-0.7071+i\ast 0.7071)z_2=-1+i$

$k=3z_3=\sqrt[6]{8}\ast (\cos \frac{90^{\circ }+3\ast 360^{\circ }}{6}+i\sin \frac{90^{\circ }+3\ast 360^{\circ }}{6})=\sqrt[6]{8}\ast (-0.9659+i\ast -0.2588)z_3=-1.366-0,366i$

$k=4z_4=\sqrt[6]{8}\ast (\cos \frac{90^{\circ }+4\ast 360^{\circ }}{6}+i\sin \frac{90^{\circ }+4\ast 360^{\circ }}{6})=\sqrt[6]{8}\ast (-0.2588+i\ast -0.9659)z_4=-0.366-1,366i$

$k=5z_5=\sqrt[6]{8}\ast (\cos \frac{90^{\circ }+5\ast 360^{\circ }}{6}+i\sin \frac{90^{\circ }+5\ast 360^{\circ }}{6})=\sqrt[6]{8}\ast (0.7071+i\ast -0.7071)z_5=1-i$

Siehe auch:

• http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahlen
• http://de.wikibooks.org/wiki/Komplexe_Zahlen#Satz_von_MOIVRE
• 5._VO_24.10.2005
• 6._VO_25.10.2005
• 4._VO_19.10.2005 , insbesondere4._VO_19.10.2005#Komplexe_Zahlen_2

Lösung von zool

Die Rechnung ist mir viel zu kompliziert, das mit den Winkel geht doch viel einfacher.

Ausgangswinkel / Wurzelgrad = w0

Der Unterschied zwischen den Ergebnissen ist 360 / Wurzelgrad, diesen Abstand braucht man dann nur immer dazu addieren.

w0= 90 / 6 = 15° 
Abstand = 360/6 = 60° 

w1 = w0+ 60 = 75°
w2 = w1+60 = 135°
w3 = w2+60 = 195°
w4 = w3+60 = 255°
w5 = w4+60 = 315°

Wer unbedingt will kann das auch mit Pi rechnen, dann ists halt Pi/3 das man zu den w0 = Pi/12 hinzuzählen muss.

--Zool 21:58, 12. Nov 2008 (CET)

Lösung von Woife

Wenn man die Angabe in die wirkliche Polarform [Betrag, Winkel] umwandelt, wird das Beispiel sehr einfach (siehe Buch Seite 13,14).

$z=0+8i=[8,\frac{\pi }{2}]$

$w=\sqrt[6]{8}(z)$

$w_0=[\sqrt[6]{8},\frac{\pi }{12}+\frac{2\pi \cdot 0}{6}]$

$w_1=[\sqrt[6]{8},\frac{\pi }{12}+\frac{2\pi \cdot 1}{6}]$

$w_2=[\sqrt[6]{8},\frac{\pi }{12}+\frac{2\pi \cdot 2}{6}]$

$w_3=[\sqrt[6]{8},\frac{\pi }{12}+\frac{2\pi \cdot 3}{6}]$

$w_4=[\sqrt[6]{8},\frac{\pi }{12}+\frac{2\pi \cdot 4}{6}]$

$w_5=[\sqrt[6]{8},\frac{\pi }{12}+\frac{2\pi \cdot 5}{6}]$

--Woife 20:35, 21. Nov 2007 (CET)