TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 31

Man finde alle sechsten Wurzeln von $z=8i$ in $\mathbb {C}$ und stelle sie in der Gaußschen Zahlenebene dar!

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Lösungsvorschlag

Zu lösen ist also: $z^{6}=0+8i$

Wir müssen die vorliegende Form in die Polarform umwandeln, und zwar in:

$z=r*(\cos \phi +i*\sin \phi )$

• $r=|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {64}}=8$
• $\phi ={\frac {\pi }{2}}$ da gilt:

$\varphi ={\begin{cases}\arctan {\frac {b}{a}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ a>0\\\arctan {\frac {b}{a}}+\pi &\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ a<0,b\geq 0\\\arctan {\frac {b}{a}}-\pi &\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ a<0,b<0\\\pi /2&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ a=0,b>0\\-\pi /2&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ a=0,b<0\end{cases}}$

${}={\begin{cases}\arccos {\frac {a}{r}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ b\geq 0\\\arccos \left(-{\frac {a}{r}}\right)-\pi &\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ b<0\end{cases}}$

Somit ergibt die Überführung in die Polarform:

$z^{6}=8*(\cos {\frac {\pi }{2}}+i*\sin {\frac {\pi }{2}})$

Die "Wurzelformel" ist: (Siehe auch http://de.wikibooks.org/wiki/Komplexe_Zahlen#Satz_von_MOIVRE sowie das Beispiel danach auf dieser Website)

Die ${\frac {\pi }{2}}$ entsprechen den $90^{\circ }$ im folgenden.

$z_{0,...,5}={\sqrt[{6}]{8}}*(\cos {\frac {90^{\circ }+k*360^{\circ }}{6}}+i\sin {\frac {90^{\circ }+k*360^{\circ }}{6}})\qquad k=\{0,1,2,3,4,5\}$

$k=0\qquad z_{0}={\sqrt[{6}]{8}}*(\cos {\frac {90^{\circ }+0*360^{\circ }}{6}}+i\sin {\frac {90^{\circ }+0*360^{\circ }}{6}})={\sqrt[{6}]{8}}*(0.9659+i*0.2588)\qquad z_{0}=1.366+0,366i$

$k=1\qquad z_{1}={\sqrt[{6}]{8}}*(\cos {\frac {90^{\circ }+1*360^{\circ }}{6}}+i\sin {\frac {90^{\circ }+1*360^{\circ }}{6}})={\sqrt[{6}]{8}}*(0.2588+i*0.9659)\qquad z_{1}=0.366+1,366i$

$k=2\qquad z_{2}={\sqrt[{6}]{8}}*(\cos {\frac {90^{\circ }+2*360^{\circ }}{6}}+i\sin {\frac {90^{\circ }+2*360^{\circ }}{6}})={\sqrt[{6}]{8}}*(-0.7071+i*0.7071)\qquad z_{2}=-1+i$

$k=3\qquad z_{3}={\sqrt[{6}]{8}}*(\cos {\frac {90^{\circ }+3*360^{\circ }}{6}}+i\sin {\frac {90^{\circ }+3*360^{\circ }}{6}})={\sqrt[{6}]{8}}*(-0.9659+i*-0.2588)\qquad z_{3}=-1.366-0,366i$

$k=4\qquad z_{4}={\sqrt[{6}]{8}}*(\cos {\frac {90^{\circ }+4*360^{\circ }}{6}}+i\sin {\frac {90^{\circ }+4*360^{\circ }}{6}})={\sqrt[{6}]{8}}*(-0.2588+i*-0.9659)\qquad z_{4}=-0.366-1,366i$

$k=5\qquad z_{5}={\sqrt[{6}]{8}}*(\cos {\frac {90^{\circ }+5*360^{\circ }}{6}}+i\sin {\frac {90^{\circ }+5*360^{\circ }}{6}})={\sqrt[{6}]{8}}*(0.7071+i*-0.7071)\qquad z_{5}=1-i$

Siehe auch:

• http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahlen
• http://de.wikibooks.org/wiki/Komplexe_Zahlen#Satz_von_MOIVRE
• 5._VO_24.10.2005
• 6._VO_25.10.2005
• 4._VO_19.10.2005 , insbesondere4._VO_19.10.2005#Komplexe_Zahlen_2

Lösung von zool

Die Rechnung ist mir viel zu kompliziert, das mit den Winkel geht doch viel einfacher.

Ausgangswinkel / Wurzelgrad = w0

Der Unterschied zwischen den Ergebnissen ist 360 / Wurzelgrad, diesen Abstand braucht man dann nur immer dazu addieren.

w0= 90 / 6 = 15° 
Abstand = 360/6 = 60° 

w1 = w0+ 60 = 75°
w2 = w1+60 = 135°
w3 = w2+60 = 195°
w4 = w3+60 = 255°
w5 = w4+60 = 315°

Wer unbedingt will kann das auch mit Pi rechnen, dann ists halt Pi/3 das man zu den w0 = Pi/12 hinzuzählen muss.

--Zool 21:58, 12. Nov 2008 (CET)

Lösung von Woife

Wenn man die Angabe in die wirkliche Polarform [Betrag, Winkel] umwandelt, wird das Beispiel sehr einfach (siehe Buch Seite 13,14).

$z=0+8i=[8,{\frac {\pi }{2}}]$

$w={\sqrt[{6}]{8}}(z)$

$w_{0}=[{\sqrt[{6}]{8}},{\frac {\pi }{12}}+{\frac {2\pi \cdot 0}{6}}]$

$w_{1}=[{\sqrt[{6}]{8}},{\frac {\pi }{12}}+{\frac {2\pi \cdot 1}{6}}]$

$w_{2}=[{\sqrt[{6}]{8}},{\frac {\pi }{12}}+{\frac {2\pi \cdot 2}{6}}]$

$w_{3}=[{\sqrt[{6}]{8}},{\frac {\pi }{12}}+{\frac {2\pi \cdot 3}{6}}]$

$w_{4}=[{\sqrt[{6}]{8}},{\frac {\pi }{12}}+{\frac {2\pi \cdot 4}{6}}]$

$w_{5}=[{\sqrt[{6}]{8}},{\frac {\pi }{12}}+{\frac {2\pi \cdot 5}{6}}]$

--Woife 20:35, 21. Nov 2007 (CET)