TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 520

Beweisen Sie, dass jede quadratische Matrix A als Summe einer symmetrischen Matrix B (d.h. $B=B^{T}$) und einer schiefsymmetrischen Matrix C (d.h., $C=-C^{T}$ geschrieben werden kann. (Hinweis: Wählen Sie $B={\frac {1}{2}}(A+A^{T})$.) Wie sieht diese Zerlegung konkret für die Matrix

$A={\begin{pmatrix}1&-2&2\\4&1&1\\3&0&5\end{pmatrix}}$

aus?

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Lösungsvorschlag von Ryus

Wir befolgen mal brav den Vorschlag der Angabe und setzen $B={\frac {1}{2}}(A+A^{T})$. Wir müssen nun zeigen, dass diese Matrix symmetrisch ist, also dass für alle i,j gilt $b_{ij}=b_{ji}$. Dazu schauen wir uns diese Elemente mal konkret an:

$b_{ij}={\frac {a_{ij}+a_{ji}}{2}}$

$b_{ji}={\frac {a_{ji}+a_{ij}}{2}}$

$\implies b_{ij}=b_{ji}$

Die Matrix B ist also symmetrisch. Um nun die Matrix C zu finden, so dass gilt $A=B+C$ berechnen wir einfach $C=A-B$.

$c_{ij}=a_{ij}-{\frac {a_{ij}+a_{ji}}{2}}$

Nun müssen wir noch prüfen, ob diese Matrix auch schiefsymmetrisch ist, also ob gilt $c_{ij}=-c_{ji}$. Betrachten wir beide mal näher:

$c_{ij}=a_{ij}-{\frac {a_{ij}+a_{ji}}{2}}$

$c_{ji}=a_{ji}-{\frac {a_{ji}+a_{ij}}{2}}$

Setzen wir nun ein:

$c_{ij}=-c_{ji}\implies a_{ij}-{\frac {a_{ij}+a_{ji}}{2}}=-a_{ji}+{\frac {a_{ji}+a_{ij}}{2}}$

$2a_{ij}-a_{ij}-a_{ji}=-2a_{ji}+a_{ji}+a_{ij}$

$a_{ij}-a_{ji}=a_{ij}-a_{ji}$

Wahre Aussage. Damit ist bewiesen, dass C schiefsymmetrisch ist.

Um nun B und C für die gegebene Matrix zu finden, einfach in die Formeln einsetzen und wir erhalten:

$B={\begin{pmatrix}1&1&2,5\\1&1&0,5\\2,5&0,5&5\end{pmatrix}}$

$C={\begin{pmatrix}0&-3&-0,5\\3&0&0,5\\0,5&-0,5&0\end{pmatrix}}$

Die Summe dieser beiden sollte dann wieder A ergeben.

Lösungsvorschlag von Berti

Ich habe einen ähnlichen Lösungsweg wie Ryus gewählt, allerdings bin ich ein wenig anders vorgangen. Dass die Matrizen symmetrisch bzw. schiefsymmetrisch sind, muss man IMHO nicht zeigen (das wird in der Angabe ja als Voraussetzung genannt), sondern diese Eigenschaften sollte man sich zunutze machen.

Aus der Angabe können wir folgende Eigenschaften bzw. Gleichungen ableiten:

• Matrix $A$ ist quadratisch, daher gilt $a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$ sowie $a_{ji}=b_{ji}+c_{ji}$
• Matrix $B$ ist symmetrisch, daher gilt $b_{ij}=b_{ji}$
• Matrix $C$ ist schiefsymmetrisch, daher gilt $c_{ij}=-c_{ji}$
• Matrix $B$ lässt sich über die Matrix $A$ und die transponierte Matrix von $A$ (also $A^{T}$ beschreiben): $b_{ij}={\frac {1}{2}}(a_{ij}+a_{ji})$

Nun setzen wir die Gleichungen so ein, dass sich daraus eine wahre Aussage ergibt, d.h. alle Variablen wegfallen.

Zuerst eliminieren wir dazu $b_{ji}$ und $c_{ji}$, diese lassen sich ja durch $b_{ij}$ bzw. $-c_{ij}$ ausdrücken:

• $a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$
• $a_{ji}=b_{ij}-c_{ij}$
• $b_{ij}={\frac {1}{2}}(a_{ij}+a_{ji})$

Nun setzen wir für $b_{ij}$ ein:

• $a_{ij}={\frac {1}{2}}(a_{ij}+a_{ji})+c_{ij}$
• $a_{ji}={\frac {1}{2}}(a_{ij}+a_{ji})-c_{ij}$

Und formt man beide Gleichungen nach $c_{ij}$ um:

• $c_{ij}=a_{ij}-{\frac {1}{2}}a_{ij}-{\frac {1}{2}}a_{ji}={\frac {1}{2}}(a_{ij}-a_{ji})$
• $c_{ij}={\frac {1}{2}}a_{ij}+{\frac {1}{2}}a_{ji}-a_{ji}={\frac {1}{2}}(a_{ij}-a_{ji})$

Ergibt sich für beide Gleichungen der gleiche Term. Womit die Aussage bewiesen wäre.

Außerdem hat man nun zwei allgemein verwendbare Gleichungen hergeleitet:

• $b_{ij}={\frac {1}{2}}(a_{ij}+a_{ji})$
• $c_{ij}={\frac {1}{2}}(a_{ij}-a_{ji})$

Mit diesen kann man die Zerlegung der Matrix $A$ aus der Angabe recht schnell konkret nachrechnen.

-- Berti933 (Diskussion) 17:23, 2. Mär. 2015 (CET)

Lösungsvorschlag von Har203

Beweisen Sie, dass jede quadratische Matrix $A$ als Summe einer symmetrischen Matrix $B$ (d.h., $B=B^{T}$ ) und einer schiefsymmetrischen Matrix $C$ (d.h., $C=-C^{T}$ ) geschrieben werden kann. (Hinweis: Wählen Sie $B={\frac {1}{2}}\left(A+A^{T}\right)$.)

Wie sieht diese Zerlegung konkret für die Matrix $A={\begin{pmatrix}1&-2&2\\4&1&1\\3&0&5\end{pmatrix}}$ aus ?

In diesem Beispiel betrachten wir quadratische $n\times n$-Matrizen. Wir werden diese Matrizen-Elemente an den Positionen $a_{kk}$ für die Hauptdiagonale und für allgemeine Positionen an $a=a_{ij}$ und $d=a_{ji}$ mit $i\neq j\;,i,\,j,\,k\in I$ der Indexmenge der vorgegebenen Matrix $A$ und der zu erzeugenden symmetrischen Matrix $B$ mit $b=b_{ij}=b_{ji}$ und der schiefsymmetrischen Matrix $C$ mit $c=\,c_{ij}\,=\,-\,c_{ji}$ untersuchen bzw. erzeugen.

Für weitere Untersuchungen unterscheiden wir vorab zwei Bereiche in diesen Matrizen:

1. Die Hauptdiagonale, die trotz der Transponierung der Matrizen $A,\,B$ und $C$ gleichbleiben, also die Elemente der Matrizen $a=a_{kk},\,b=b_{kk},$ und $c=c_{kk}$ mit $k\in I$ und
2. die Elemente ($a=a_{ij}$) mit $i$ aus der Indexmenge $I$ für die Zeilen und $j$ ebenfalls $\in I$ für die Spalten, wobei gelten soll $i\neq j$ (also die Hauptdiagonale ausgenommen).

Seien $a,\,d$ die beiden Elemente der vorgegebenen Matrix $A$ mit ($a=a_{ij}$ und $d=a_{ji})$. Dann erhalten wir zwei Gleichungen, um diese beiden Elemente aus den Matrizen $B$ und $C$ darzustellen$\colon \,A=B+C$.

$\left.{\begin{alignedat}{1}&\mathbf {a} &\mathbf {=\,a_{ij}} \,&=\,b_{ij}&+\,&c_{ij}\,&&&&\,=b+c\\&\mathbf {d} &\mathbf {=\,a_{ji}} \,&=\,b_{\mathbf {ji} }&+\,&c_{\mathbf {ji} }\,&=\,b_{\mathbf {ij} }&-\,&c_{\mathbf {ij} }\,&=b-c\end{alignedat}}\quad \right\}\implies b={\frac {a+d}{2}}\quad \land \quad c={\frac {a-d}{2}}.$

Aus den beiden vorgegebenen Elementen $a=a_{ij},\,d=a_{ji}$ in der vorgegebenen Matrix $A\implies$ für die beiden Elemente in der Matrix $B\colon \,b_{ij}=b_{ji}={\frac {a+d}{2}}$ und die beiden Elemente in der Matrix $C\colon \,c_{ij}\,=\,{\frac {a-d}{2}}\quad c_{ji}\,=\,-\,{\frac {a-d}{2}}$.

Wenden wir diese Berechnung auf die Hauptdiagonale an, dann erhalten wir:

$b_{kk}=2\cdot {\frac {a_{kk}}{2}}=a_{kk}$ und das Element in der Matrix $C\colon \,c_{kk}={\frac {a_{kk}-a_{kk}}{2}}=0\implies a_{kk}=(b_{kk}+c_{kk})=a_{kk}+0=a_{kk}\qquad \color {green}\surd \color {black}$.

D.h. diese Formel gilt auch für die Hauptdiagonale.

Anmerkung: Da die Lösung dieses Beispiels bis auf die Festlegung der Hauptdiagonale eindeutig ist, wäre der Hinweis eigentlich nicht notwendig.

Beispiel

Die Zerlegung der Matrix $A\,=\,{\begin{pmatrix}1&-2&2\\4&1&1\\3&0&5\end{pmatrix}}\quad B=\left({\frac {1}{2}}\right)\cdot {\begin{pmatrix}2&2&5\\2&2&1\\5&1&10\end{pmatrix}}\quad C=\left({\frac {1}{2}}\right)\cdot {\begin{pmatrix}0&-6&-1\\6&0&1\\1&-1&0\end{pmatrix}}\quad A=\left({\frac {1}{2}}\right)\cdot {\begin{pmatrix}2&-4&4\\8&2&2\\6&0&10\end{pmatrix}}\qquad \color {green}\surd \color {black}$.

Matrizen A, B, C

$B=\left({\frac {1}{2}}\right)\cdot \left({\begin{array}{cccccc}a_{11}+a_{11}&a_{12}+a_{21}&a_{13}+a_{31}&\ldots &a_{1,n}+a_{n,1}&\ldots \\a_{21}+a_{12}&a_{22}+a_{22}&a_{23}+a_{32}&\ldots &a_{2,n}+a_{n,2}&\ldots \\a_{31}+a_{13}&a_{32}+a_{23}&a_{33}+a_{33}&\ldots &a_{3,n}+a_{n,3}&\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\cdots \\a_{n,1}+a_{1,n}&a_{n,2}+a_{2,n}&a_{n,3}+a_{3,n}&\ldots &a_{n,n}+a_{n,n}&\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots \\\end{array}}\right)$

$C=\left({\frac {1}{2}}\right)\cdot \left({\begin{array}{cccccc}a_{11}-a_{11}&a_{12}-a_{21}&a_{13}-a_{31}&\ldots &a_{1,n}-a_{n,1}&\ldots \\a_{21}-a_{12}&a_{22}-a_{22}&a_{23}-a_{32}&\ldots &a_{2,n}-a_{n,2}&\ldots \\a_{31}-a_{13}&a_{32}-a_{23}&a_{33}-a_{33}&\ldots &a_{3,n}-a_{n,3}&\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\cdots \\a_{n,1}-a_{1,n}&a_{n,2}-a_{2,n}&a_{n,3}-a_{3,n}&\ldots &a_{n,n}-a_{n,n}&\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots \\\end{array}}\right)\,=$

$C=\left({\frac {1}{2}}\right)\cdot \left({\begin{array}{cccccc}0&a_{12}-a_{21}&a_{13}-a_{31}&\ldots &a_{1,n}-a_{n,1}&\ldots \\a_{21}-a_{12}&0&a_{23}-a_{32}&\ldots &a_{2,n}-a_{n,2}&\ldots \\a_{31}-a_{13}&a_{32}-a_{23}&0&\ldots &a_{3,n}-a_{n,3}&\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\cdots \\a_{n,1}-a_{1,n}&a_{n,2}-a_{2,n}&a_{n,3}-a_{3,n}&\ldots &0&\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots \\\end{array}}\right)$

$A=B+C=\left({\frac {1}{2}}\right)\cdot \left({\begin{array}{cccccc}2\cdot a_{11}&2\cdot a_{12}&2\cdot a_{13}&\ldots &2\cdot a_{1,n}&\ldots \\2\cdot a_{21}&2\cdot a_{22}&2\cdot a_{23}&\ldots &2\cdot a_{2,n}&\ldots \\2\cdot a_{31}&2\cdot a_{32}&2\cdot a_{33}&\ldots &2\cdot a_{3,n}&\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\cdots \\2\cdot a_{n,1}&2\cdot a_{n,2}&2\cdot a_{n,3}&\ldots &2\cdot a_{n,n}&\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots \\\end{array}}\right)$

Links

Wikipedia:

• Matrix
• Matrizenmultiplikation
• Transponierte Matrix
• Symmetrische Matrix
• Schiefsymmetrische Matrix
• Lineare Abbildung

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