TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 397

Man bestimme die "primen" Restklassen modulo 9, d.h. alle Restklassen ${\overline {a}}$ mit ggT(a, 9)=1. Man zeige, daß die Menge $\Gamma _{9}$ dieser primen Restklassen bezüglich der Restklassenmultiplikation eine Gruppe bildet.

Hilfreiches

Gruppe

Gruppe

Eine Gruppe $(G,\circ )$ ist

• abgeschlossen bzgl. der Operation $\circ$ in G,
• assoziativ: $\forall a,b,c\in G:\quad a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$,
• beinhaltet ein neutrales Element $e$: $\quad \forall a:\quad a\circ e=a$
• sowie inverse Elemente: $\forall a\quad \exists a^{-1}:\quad a\circ a^{-1}=e$.

Lösung von Baccus

$\Gamma _{9}$= {1,2,4,5,7,8}

Operationstafel:

${\begin{array}{c|cccccc}*&1&2&4&5&7&8\\\hline 1&1&2&4&5&7&8\\2&2&4&8&1&5&7\\4&4&8&7&2&1&5\\5&5&1&2&7&8&4\\7&7&5&1&8&4&2\\8&8&7&5&4&2&1\end{array}}$

Hieraus kann man ablesen:

• Die Operation ist abgeschlossen
• $\exists$ neutrales Element ("1")
• $\forall$ Elemente $\exists$ inverses Element (in allen Zeilen/Spalten kommt "1" vor)

Da $\Gamma _{9}<\mathbb {Z}$ und Assoziativität schon in $\mathbb {Z}$ gegeben ist, auch in $\Gamma _{9}$.

Alle Gruppenbedingungen sind erfüllt.

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Ähnliche Beispiele:

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