TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 422

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Sei \langle R,+,*\rangle ein Ring. Man zeige, dass dann auch R \times R mit den Operationen

(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)
(a,b) * (c,d) = (a*c,b*d)

ein Ring ist.

Hilfreiches[Bearbeiten]

(Mit (a,b) ist hier das Paar gemeint, dessen erste Komponente a ist, und dessen zweite Komponente b ist. Wenn R zum Beispiel der Ring der ganzen Zahlen ist, dann wäre das Paar (-2,7) so ein (a, b).)

Ring[Bearbeiten, WP, 2.68 Definition]

Ein Ring (R, +, \cdot) ist eine Menge R mit zwei binären Operationen + und \cdot, sodass

  • (R, +) eine kommutative Gruppe ist,
  • (R, \cdot) eine Halbgruppe ist,
  • die Distributivgesetze
a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) und
(a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)
für alle a, b, c \in R gelten.

Lösungsvorschlag von RolandU[Bearbeiten]

Ist wahrscheinlich eh falsch, aber ich probiers mal..

Lösungsweg[Bearbeiten]

Damit ich leichter Arbeiten kann, erschaffe ich eine neue Menge "S".

S = R x R

Unsere Problemstellung lautet nun: Ist \langle S,+,*\rangle ein Ring? Gehen wir also alle Voraussetzungen für Ringe durch:

  • \langle S,+\rangle ist sicher eine kommutative Gruppe, da \langle R,+\rangle schon eine ist und bei Operationen in R x R dieselben Regeln gelten müssen, wie in R selbst.
  • \langle S,*\rangle ist sicher eine Halbgruppe, da \langle R,*\rangle schon eine ist.
  • da in R die Distributivgesetze gelten, gelten sie auch in R x R.

Siehe Diskussion

Lösungsvorschlag von Lacce[Bearbeiten]

Hab grad gesehen, dass das Beispel schon gelöst im Wiki steht: Beispiel 297

Ist echt nur stures nachrechnen - ich rechne es trotzdem mal vor..

Siehe Diskussion

Ich zeige gleich allgemeiner: Ist \langle R, +,* \rangle ein Ring, n \in \mathbb{N}, so ist auch \langle R^n , + , * \rangle einer mit den Operationen:

( a_1 , \dots , a_n ) + ( b_1 , \dots , b_n ) = ( a_1 + b_1 , \dots , a_n + b_n )

( a_1 , \dots , a_n ) * ( b_1 , \dots , b_n ) = ( a_1 * b_1 , \dots , a_n * b_n )

Additive Gruppe  \langle R^n , + \rangle [Bearbeiten]

Abgeschlossenheit[Bearbeiten]

a_i, b_i \in R \Rightarrow a_i + b_i \in R für alle 1 \leq i \leq n

Assoziativität[Bearbeiten]

 ( ( a_1 , \dots , a_n ) + ( b_1 , \dots , b_n ) ) + ( c_1 , \dots , c_n ) = ( a_1 + b_1 , \dots , a_n + b_n ) + ( c_1 , \dots , c_n ) = ( (a_1 + b_1) + c_1 , \dots , (a_n + b_n) + c_n ) =

( a_1 + ( b_1 + c_1 ) , \dots , a_n + ( b_n + c_n ) ) = ( a_1 , \dots , a_n ) + ( b_1 + c_1 , \dots , b_n + c_n ) = ( a_1 , \dots , a_n ) + ( ( b_1 , \dots , b_n ) + ( c_1 , \dots , c_n ) )

Einheitselement[Bearbeiten]

Sei nun 0 das Einheitselement von \langle R , + \rangle. Es ist ( 0 , \dots , 0 ) Einheitselement von \langle R^n , + \rangle.

 ( a_1 , \dots , a_n ) + ( 0 , \dots , 0 ) = ( a_1 + 0 , \dots , a_n + 0 ) = ( a_1 , \dots , a_n )

Inverse Elemente[Bearbeiten]

 - ( a_1 , \dots , a_n ) = ( - a_1 , \dots , - a_n ), denn:

 ( a_1 , \dots , a_n ) + ( - a_1 , \dots , - a_n ) =  ( a_1 - a_1 , \dots , a_n - a_n ) = ( 0 , \dots , 0 )

Kommutativität[Bearbeiten]

( a_1 , \dots , a_n ) + ( b_1 , \dots , b_n ) = ( a_1 + b_1 , \dots , a_n + b_n ) =( b_1 + a_1 , \dots , b_n + a_n ) = ( b_1 , \dots , b_n ) + ( a_1 , \dots , a_n )

Multiplikative Halbgruppe \langle R^n , * \rangle[Bearbeiten]

Abgeschlossenheit[Bearbeiten]

a_i, b_i \in R \Rightarrow a_i * b_i \in R für alle 1 \leq i \leq n

Assoziativität[Bearbeiten]

 ( ( a_1 , \dots , a_n ) * ( b_1 , \dots , b_n ) ) * ( c_1 , \dots , c_n ) = ( a_1 * b_1 , \dots , a_n * b_n ) * ( c_1 , \dots , c_n ) = ( (a_1 * b_1) * c_1 , \dots , (a_n * b_n) * c_n ) =

( a_1 * ( b_1 * c_1 ) , \dots , a_n * ( b_n * c_n ) ) = ( a_1 , \dots , a_n ) * ( b_1 * c_1 , \dots , b_n * c_n ) = ( a_1 , \dots , a_n ) * ( ( b_1 , \dots , b_n ) * ( c_1 , \dots , c_n ) )

Distributivgesetze[Bearbeiten]

 ( ( a_1 , \dots , a_n ) + ( b_1 , \dots , b_n ) ) * ( c_1 , \dots , c_n ) = ( a_1 + b_1 , \dots , a_n + b_n ) * ( c_1 , \dots , c_n ) = ( (a_1 + b_1) * c_1 , \dots , (a_n + b_n) * c_n ) =

 ( (a_1 * c_1) + (b_1 * c_1) , \dots , (a_n * c_n) + (b_n * c_n) ) = ( a_1 * c_1 , \dots , a_n * c_n ) + ( b_1 * c_1 , \dots , b_n * c_n ) =

 ( ( a_1 , \dots , a_n ) * ( c_1 , \dots , c_n ) ) + ( ( b_1 , \dots , b_n ) *  ( c_1 , \dots , c_n ) )

 ( a_1 , \dots , a_n ) * ( ( b_1 , \dots , b_n ) + ( c_1 , \dots , c_n ) ) = ( a_1 , \dots , a_n ) * ( b_1 + c_1 , \dots , b_n + c_n )= ( a_1 * (b_1 + c_1) , \dots , a_n * (b_n + c_n) ) =

 ( (a_1 * b_1) + (a_1 * c_1) , \dots , (a_n * b_n) + (a_n * c_n) = ( a_1 * b_1 , \dots , a_n * b_n ) + ( a_1 * c_1 , \dots , a_n * c_n ) =

 ( ( a_1 , \dots , a_n ) * ( b_1 , \dots , b_n ) ) + ( ( a_1 , \dots , a_n ) *  ( c_1 , \dots , c_n ) )