TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 477

Zeigen Sie: $\mathbb {C}$ bildet mit den in $\mathbb {C}$ ausgeführten Operationen Addition und Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum über $\mathbb {R}$.

Lösungsvorschlag von neo

Man muss beweisen, dass $(\mathbb {C} ,+\mathbb {R} )$ ein Vektorraum ist.
Da $\mathbb {C}$ per Definition ein Körper ist, fällt der Beweis für $(\mathbb {C} ,+)$ als abelsche Gruppe weg. Es müssen nur die vektorielle und skalare Distributivität, skalare Assoziativität und die Existenz eines neutralen Elements bezüglich der skalaren Multiplikation bewiesen werden (Mathematik für Informatik 4.Auflage S.104).

$\lambda ((a+bi)+(c+di))=\lambda a+\lambda b+\lambda i(b+d)$
$\lambda (a+bi)+\lambda (c+di)=\lambda a+\lambda bi+\lambda c+\lambda di=\lambda a+\lambda b+\lambda i(b+d)$
$\Rightarrow$ vektorielle Distributivität

$(\lambda +\mu )(a+bi)=\lambda a+\lambda bi+\mu a+\mu bi=\lambda (a+bi)+\mu (a+bi)$
$\Rightarrow$ skalare Distributivität

$(\lambda \mu )(a+bi)=\lambda \mu a+\lambda \mu bi$
$\lambda (\mu (a+bi))=\lambda (\mu a+\mu bi)=\lambda \mu a+\lambda \mu bi$
$\Rightarrow$ skalare Assoziativität

Das neutrale Element bezüglich der Multiplikation in $\mathbb {R}$ ist $1$.
$1(a+bi)=a+bi$
$\Rightarrow$ neutrales Element bezüglich der Skalarmultiplikation

Damit wäre bewiesen, dass $(\mathbb {C} ,+,\mathbb {R} )$ einen Vektorraum über $\mathbb {R}$ darstellt.